Lös 54(1+x)(1+x)=1215

$$54(1+x)(1+x)=1215$$

Lös ut x

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1\approx 3,74341649$$

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1\approx -5,74341649$$

Steg med lösningsformeln

Multiplicera 1+x och 1+x för att få \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+x\right)^{2}=1215$$

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+2x+x^{2}\right)=1215$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 54 med 1+2x+x^{2}.

$$54+108x+54x^{2}=1215$$

Subtrahera 1215 från båda led.

$$54+108x+54x^{2}-1215=0$$

Subtrahera 1215 från 54 för att få -1161.

$$-1161+108x+54x^{2}=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$54x^{2}+108x-1161=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 54, b med 108 och c med -1161 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-108±\sqrt{108^{2}-4\times 54\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Kvadrera 108.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664-4\times 54\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Multiplicera -4 med 54.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664-216\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Multiplicera -216 med -1161.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664+250776}}{2\times 54}$$

Addera 11664 till 250776.

$$x=\frac{-108±\sqrt{262440}}{2\times 54}$$

Dra kvadratroten ur 262440.

$$x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{2\times 54}$$

Multiplicera 2 med 54.

$$x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108} när ± är plus. Addera -108 till 162\sqrt{10}.

$$x=\frac{162\sqrt{10}-108}{108}$$

Dela -108+162\sqrt{10} med 108.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108} när ± är minus. Subtrahera 162\sqrt{10} från -108.

$$x=\frac{-162\sqrt{10}-108}{108}$$

Dela -108-162\sqrt{10} med 108.

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Steg för kvadratkomplettering

Multiplicera 1+x och 1+x för att få \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+x\right)^{2}=1215$$

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+2x+x^{2}\right)=1215$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 54 med 1+2x+x^{2}.

$$54+108x+54x^{2}=1215$$

Subtrahera 54 från båda led.

$$108x+54x^{2}=1215-54$$

Subtrahera 54 från 1215 för att få 1161.

$$108x+54x^{2}=1161$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$54x^{2}+108x=1161$$

Dividera båda led med 54.

$$\frac{54x^{2}+108x}{54}=\frac{1161}{54}$$

Division med 54 tar ut multiplikationen med 54.

$$x^{2}+\frac{108}{54}x=\frac{1161}{54}$$

Dela 108 med 54.

$$x^{2}+2x=\frac{1161}{54}$$

Minska bråktalet \frac{1161}{54} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 27.

$$x^{2}+2x=\frac{43}{2}$$

Dividera 2, koefficienten för termen x, med 2 för att få 1. Addera sedan kvadraten av 1 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{43}{2}+1^{2}$$

Kvadrera 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{43}{2}+1$$

Addera \frac{43}{2} till 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{45}{2}$$

Faktorisera x^{2}+2x+1. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{45}{2}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{2}}$$

Förenkla.

$$x+1=\frac{3\sqrt{10}}{2} x+1=-\frac{3\sqrt{10}}{2}$$

Subtrahera 1 från båda ekvationsled.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$