Lös 53x^2+5x-12<0

$$53 x ^ { 2 } + 5 x - 12 < 0$$

Lös ut x

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{2569}-5}{106},\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right)$$

Steg med lösningsformeln

Lös olikheten genom att faktorisera den vänstra sidan. Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$53x^{2}+5x-12=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersätt 53 med a, 5 med b och -12 med c i lösningsformeln.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 53\left(-12\right)}}{2\times 53}$$

Gör beräkningarna.

$$x=\frac{-5±\sqrt{2569}}{106}$$

Lös ekvationen x=\frac{-5±\sqrt{2569}}{106} när ± är plus och när ± är minus.

$$x=\frac{\sqrt{2569}-5}{106} x=\frac{-\sqrt{2569}-5}{106}$$

Skriv om olikheten med hjälp av de erhållna lösningarna.

$$53\left(x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right)\left(x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106}\right)<0$$

För att produkten ska vara negativ, x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106} och x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106} måste vara av motsatta tecken. Överväg om x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106} är positivt och x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106} är negativt.

$$x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106}>0 x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106}<0$$

Detta är falskt för alla x.

$$x\in \emptyset$$

Överväg om x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106} är positivt och x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106} är negativt.

$$x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106}>0 x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106}<0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är x\in \left(\frac{-\sqrt{2569}-5}{106},\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right).

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{2569}-5}{106},\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right)$$

Den slutliga lösningen är unionen av de erhållna lösningarna.

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{2569}-5}{106},\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right)$$