Lös 5-x^2+3x=12

$$5- { x }^{ 2 } +3x=12$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}\approx 1,5-2,179449472i$$

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}\approx 1,5+2,179449472i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-x^{2}+3x+5=12$$

Subtrahera 12 från båda ekvationsled.

$$-x^{2}+3x+5-12=12-12$$

Subtraktion av 12 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-x^{2}+3x+5-12=0$$

Subtrahera 12 från 5.

$$-x^{2}+3x-7=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -1, b med 3 och c med -7 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrera 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera -4 med -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 4 med -7.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-28}}{2\left(-1\right)}$$

Addera 9 till -28.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-19}}{2\left(-1\right)}$$

Dra kvadratroten ur -19.

$$x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 2 med -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2} när ± är plus. Addera -3 till i\sqrt{19}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{19}i}{-2}$$

Dela -3+i\sqrt{19} med -2.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2} när ± är minus. Subtrahera i\sqrt{19} från -3.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i-3}{-2}$$

Dela -3-i\sqrt{19} med -2.

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2} x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+3x+5=12$$

Subtrahera 5 från båda ekvationsled.

$$-x^{2}+3x+5-5=12-5$$

Subtraktion av 5 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-x^{2}+3x=12-5$$

Subtrahera 5 från 12.

$$-x^{2}+3x=7$$

Dividera båda led med -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=\frac{7}{-1}$$

Division med -1 tar ut multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=\frac{7}{-1}$$

Dela 3 med -1.

$$x^{2}-3x=\frac{7}{-1}$$

Dela 7 med -1.

$$x^{2}-3x=-7$$

Dividera -3, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{3}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{3}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-7+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{3}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-7+\frac{9}{4}$$

Addera -7 till \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-\frac{19}{4}$$

Faktorisera x^{2}-3x+\frac{9}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{19}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{19}{4}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{19}i}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{19}i}{2}$$

Addera \frac{3}{2} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2} x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}$$