Lös 5x-2y=1;3x+5y=13

$$5 x - 2 y = 1 ; 3 x + 5 y = 13$$

Lös ut x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Steg med substitution

Du löser ett par ekvationer med först lösa en av ekvationerna med avseende på en av variablerna. Ersätt sedan den variabeln med resultatet i den andra ekvationen.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Välj en av ekvationerna och lös den för x genom att isolera x till vänster om likhets tecknet.

$$5x-2y=1$$

Addera 2y till båda ekvationsled.

$$5x=2y+1$$

Dividera båda led med 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+1\right)$$

Multiplicera \frac{1}{5} med 2y+1.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}$$

Ersätt x med \frac{2y+1}{5} i den andra ekvationen, 3x+5y=13.

$$3\left(\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}\right)+5y=13$$

Multiplicera 3 med \frac{2y+1}{5}.

$$\frac{6}{5}y+\frac{3}{5}+5y=13$$

Addera \frac{6y}{5} till 5y.

$$\frac{31}{5}y+\frac{3}{5}=13$$

Subtrahera \frac{3}{5} från båda ekvationsled.

$$\frac{31}{5}y=\frac{62}{5}$$

Dela båda ekvationsled med \frac{31}{5}, vilket är detsamma som att multiplicera båda led med bråktalets reciprok.

$$y=2$$

Ersätt y med 2 i x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$x=\frac{2}{5}\times 2+\frac{1}{5}$$

Multiplicera \frac{2}{5} med 2.

$$x=\frac{4+1}{5}$$

Addera \frac{1}{5} till \frac{4}{5} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x=1$$

Systemet har lösts.

$$x=1,y=2$$

Steg med matriser

Skriv om ekvationerna på standardform och använda sedan matriser för att lösa ekvationssystemet.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Skriv ekvationerna på matrisform.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Vänstermultiplicera ekvationen med inversen av en matris \left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Produkten av en matris och dess invers är enhetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna till vänster om likhetstecknet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

För 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är inversmatrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) och matrisekvationen kan därför skrivas om som en matrismultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{2}{31}\\-\frac{3}{31}&\frac{5}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}+\frac{2}{31}\times 13\\-\frac{3}{31}+\frac{5}{31}\times 13\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Bryt ut matriselementen x och y.

$$x=1,y=2$$

Steg med eliminering

För lösning med hjälp av eliminering måste koefficienterna för en av variablerna vara desamma i båda ekvationer så att variabeln förkortas när den ena ekvationen subtraheras från den andra.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Gör 5x och 3x lika genom att multiplicera alla termer i båda led i den första ekvationen med 3 och alla termer i båda led i den andra ekvationen med 5.

$$3\times 5x+3\left(-2\right)y=3,5\times 3x+5\times 5y=5\times 13$$

Förenkla.

$$15x-6y=3,15x+25y=65$$

Subtrahera 15x+25y=65 från 15x-6y=3 genom att subtrahera lika termer på varje sida om likhetstecknet.

$$15x-15x-6y-25y=3-65$$

Addera 15x till -15x. Termerna 15x och -15x tar ut varandra och ger en ekvation med bara en variabel som kan lösas.

$$-6y-25y=3-65$$

Addera -6y till -25y.

$$-31y=3-65$$

Addera 3 till -65.

$$-31y=-62$$

Dividera båda led med -31.

$$y=2$$

Ersätt y med 2 i 3x+5y=13. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$3x+5\times 2=13$$

Multiplicera 5 med 2.

$$3x+10=13$$

Subtrahera 10 från båda ekvationsled.

$$3x=3$$

Dividera båda led med 3.

$$x=1$$

Systemet har lösts.

$$x=1,y=2$$