Lös 5x^2-9x+3=0

$$5 x ^ { 2 } - 9 x + 3 = 0$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{21} + 9}{10} \approx 1,358257569$$

$$x=\frac{9-\sqrt{21}}{10}\approx 0,441742431$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$5x^{2}-9x+3=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 5, b med -9 och c med 3 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Kvadrera -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Multiplicera -4 med 5.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-20\times 3}}{2\times 5}$$

Multiplicera -20 med 3.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-60}}{2\times 5}$$

Addera 81 till -60.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{21}}{2\times 5}$$

Motsatsen till -9 är 9.

$$x=\frac{9±\sqrt{21}}{2\times 5}$$

Multiplicera 2 med 5.

$$x=\frac{9±\sqrt{21}}{10}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{9±\sqrt{21}}{10} när ± är plus. Addera 9 till \sqrt{21}.

$$x=\frac{\sqrt{21}+9}{10}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{9±\sqrt{21}}{10} när ± är minus. Subtrahera \sqrt{21} från 9.

$$x=\frac{9-\sqrt{21}}{10}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{21}+9}{10} x=\frac{9-\sqrt{21}}{10}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-9x+3=0$$

Subtrahera 3 från båda ekvationsled.

$$5x^{2}-9x+3-3=-3$$

Subtraktion av 3 från sig självt ger 0 som resultat.

$$5x^{2}-9x=-3$$

Dividera båda led med 5.

$$\frac{5x^{2}-9x}{5}=-\frac{3}{5}$$

Division med 5 tar ut multiplikationen med 5.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=-\frac{3}{5}$$

Dividera -\frac{9}{5}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{9}{10}. Addera sedan kvadraten av -\frac{9}{10} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}=-\frac{3}{5}+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{9}{10} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=-\frac{3}{5}+\frac{81}{100}$$

Addera -\frac{3}{5} till \frac{81}{100} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=\frac{21}{100}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}=\frac{21}{100}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{21}{100}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{9}{10}=\frac{\sqrt{21}}{10} x-\frac{9}{10}=-\frac{\sqrt{21}}{10}$$

Addera \frac{9}{10} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{21}+9}{10} x=\frac{9-\sqrt{21}}{10}$$