Lös 5x^2-7x-3=0

$$5 x ^ { 2 } - 7 x - 3 = 0$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{109} + 7}{10} \approx 1,744030651$$

$$x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}\approx -0,344030651$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$5x^{2}-7x-3=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 5, b med -7 och c med -3 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 5\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrera -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 5\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicera -4 med 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-20\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicera -20 med -3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+60}}{2\times 5}$$

Addera 49 till 60.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{109}}{2\times 5}$$

Motsatsen till -7 är 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{109}}{2\times 5}$$

Multiplicera 2 med 5.

$$x=\frac{7±\sqrt{109}}{10}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{7±\sqrt{109}}{10} när ± är plus. Addera 7 till \sqrt{109}.

$$x=\frac{\sqrt{109}+7}{10}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{7±\sqrt{109}}{10} när ± är minus. Subtrahera \sqrt{109} från 7.

$$x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{109}+7}{10} x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-7x-3=0$$

Addera 3 till båda ekvationsled.

$$5x^{2}-7x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Subtraktion av -3 från sig självt ger 0 som resultat.

$$5x^{2}-7x=-\left(-3\right)$$

Subtrahera -3 från 0.

$$5x^{2}-7x=3$$

Dividera båda led med 5.

$$\frac{5x^{2}-7x}{5}=\frac{3}{5}$$

Division med 5 tar ut multiplikationen med 5.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{3}{5}$$

Dividera -\frac{7}{5}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{7}{10}. Addera sedan kvadraten av -\frac{7}{10} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{3}{5}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{7}{10} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{3}{5}+\frac{49}{100}$$

Addera \frac{3}{5} till \frac{49}{100} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{109}{100}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. I allmänhet gäller att om x^{2}+bx+c är en jämn kvadrat kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{109}{100}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{109}{100}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{\sqrt{109}}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{\sqrt{109}}{10}$$

Addera \frac{7}{10} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{109}+7}{10} x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}$$