Lös 5x^2-5x-3=0

$$5 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

Lös ut x

$$x=\frac{\sqrt{85}}{10}+\frac{1}{2}\approx 1,421954446$$

$$x=-\frac{\sqrt{85}}{10}+\frac{1}{2}\approx -0,421954446$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$5x^{2}-5x-3=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 5, b med -5 och c med -3 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 5\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrera -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 5\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicera -4 med 5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-20\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicera -20 med -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+60}}{2\times 5}$$

Addera 25 till 60.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{85}}{2\times 5}$$

Motsatsen till -5 är 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{85}}{2\times 5}$$

Multiplicera 2 med 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{85}}{10}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{5±\sqrt{85}}{10} när ± är plus. Addera 5 till \sqrt{85}.

$$x=\frac{\sqrt{85}+5}{10}$$

Dela 5+\sqrt{85} med 10.

$$x=\frac{\sqrt{85}}{10}+\frac{1}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{5±\sqrt{85}}{10} när ± är minus. Subtrahera \sqrt{85} från 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{85}}{10}$$

Dela 5-\sqrt{85} med 10.

$$x=-\frac{\sqrt{85}}{10}+\frac{1}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{85}}{10}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{85}}{10}+\frac{1}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-5x-3=0$$

Addera 3 till båda ekvationsled.

$$5x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Subtraktion av -3 från sig självt ger 0 som resultat.

$$5x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

Subtrahera -3 från 0.

$$5x^{2}-5x=3$$

Dividera båda led med 5.

$$\frac{5x^{2}-5x}{5}=\frac{3}{5}$$

Division med 5 tar ut multiplikationen med 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{5}{5}\right)x=\frac{3}{5}$$

Dela -5 med 5.

$$x^{2}-x=\frac{3}{5}$$

Dividera -1, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{5}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{5}+\frac{1}{4}$$

Addera \frac{3}{5} till \frac{1}{4} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{17}{20}$$

Faktorisera x^{2}-x+\frac{1}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{17}{20}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17}{20}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{85}}{10} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{85}}{10}$$

Addera \frac{1}{2} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{85}}{10}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{85}}{10}+\frac{1}{2}$$