Lös 5x^2-40x-45=0

$$5 x ^ { 2 } - 40 x - 45 = 0$$

Lös ut x

$$x=-1$$

$$x=9$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Dividera båda led med 5.

$$x^{2}-8x-9=0$$

Lös ekvationen genom att faktorisera den vänstra delen med gruppering. Först måste den vänstra sidan skrivas om som x^{2}+ax+bx-9. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-8 ab=1\left(-9\right)=-9$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -9.

$$1,-9 3,-3$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-9=-8 3-3=0$$

Lösningen är det par som ger Summa -8.

$$a=-9 b=1$$

Skriv om x^{2}-8x-9 som \left(x^{2}-9x\right)+\left(x-9\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(x-9\right)$$

Bryt ut x i x^{2}-9x.

$$x\left(x-9\right)+x-9$$

Bryt ut den gemensamma termen x-9 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-9\right)\left(x+1\right)$$

Lös x-9=0 och x+1=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=9 x=-1$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$5x^{2}-40x-45=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 5, b med -40 och c med -45 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 5\left(-45\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrera -40.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 5\left(-45\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicera -4 med 5.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-20\left(-45\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicera -20 med -45.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600+900}}{2\times 5}$$

Addera 1600 till 900.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{2500}}{2\times 5}$$

Dra kvadratroten ur 2500.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±50}{2\times 5}$$

Motsatsen till -40 är 40.

$$x=\frac{40±50}{2\times 5}$$

Multiplicera 2 med 5.

$$x=\frac{40±50}{10}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{40±50}{10} när ± är plus. Addera 40 till 50.

$$x=\frac{90}{10}$$

Dela 90 med 10.

$$x=9$$

Lös nu ekvationen x=\frac{40±50}{10} när ± är minus. Subtrahera 50 från 40.

$$x=-\frac{10}{10}$$

Dela -10 med 10.

$$x=-1$$

Ekvationen har lösts.

$$x=9 x=-1$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-40x-45=0$$

Addera 45 till båda ekvationsled.

$$5x^{2}-40x-45-\left(-45\right)=-\left(-45\right)$$

Subtraktion av -45 från sig självt ger 0 som resultat.

$$5x^{2}-40x=-\left(-45\right)$$

Subtrahera -45 från 0.

$$5x^{2}-40x=45$$

Dividera båda led med 5.

$$\frac{5x^{2}-40x}{5}=\frac{45}{5}$$

Division med 5 tar ut multiplikationen med 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{5}\right)x=\frac{45}{5}$$

Dela -40 med 5.

$$x^{2}-8x=\frac{45}{5}$$

Dela 45 med 5.

$$x^{2}-8x=9$$

Dividera -8, koefficienten för termen x, med 2 för att få -4. Addera sedan kvadraten av -4 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=9+\left(-4\right)^{2}$$

Kvadrera -4.

$$x^{2}-8x+16=9+16$$

Addera 9 till 16.

$$x^{2}-8x+16=25$$

Faktorisera x^{2}-8x+16. I allmänhet gäller att om x^{2}+bx+c är en jämn kvadrat kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=25$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Förenkla.

$$x-4=5 x-4=-5$$

Addera 4 till båda ekvationsled.

$$x=9 x=-1$$