Lös 5x^2-40x+85=0

$$5 x ^ { 2 } - 40 x + 85 = 0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=4+i$$

$$x=4-i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$5x^{2}-40x+85=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 5, b med -40 och c med 85 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 5\times 85}}{2\times 5}$$

Kvadrera -40.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 5\times 85}}{2\times 5}$$

Multiplicera -4 med 5.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-20\times 85}}{2\times 5}$$

Multiplicera -20 med 85.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1700}}{2\times 5}$$

Addera 1600 till -1700.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{-100}}{2\times 5}$$

Dra kvadratroten ur -100.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±10i}{2\times 5}$$

Motsatsen till -40 är 40.

$$x=\frac{40±10i}{2\times 5}$$

Multiplicera 2 med 5.

$$x=\frac{40±10i}{10}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{40±10i}{10} när ± är plus. Addera 40 till 10i.

$$x=\frac{40+10i}{10}$$

Dela 40+10i med 10.

$$x=4+i$$

Lös nu ekvationen x=\frac{40±10i}{10} när ± är minus. Subtrahera 10i från 40.

$$x=\frac{40-10i}{10}$$

Dela 40-10i med 10.

$$x=4-i$$

Ekvationen har lösts.

$$x=4+i x=4-i$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-40x+85=0$$

Subtrahera 85 från båda ekvationsled.

$$5x^{2}-40x+85-85=-85$$

Subtraktion av 85 från sig självt ger 0 som resultat.

$$5x^{2}-40x=-85$$

Dividera båda led med 5.

$$\frac{5x^{2}-40x}{5}=-\frac{85}{5}$$

Division med 5 tar ut multiplikationen med 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{5}\right)x=-\frac{85}{5}$$

Dela -40 med 5.

$$x^{2}-8x=-\frac{85}{5}$$

Dela -85 med 5.

$$x^{2}-8x=-17$$

Dividera -8, koefficienten för termen x, med 2 för att få -4. Addera sedan kvadraten av -4 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-17+\left(-4\right)^{2}$$

Kvadrera -4.

$$x^{2}-8x+16=-17+16$$

Addera -17 till 16.

$$x^{2}-8x+16=-1$$

Faktorisera x^{2}-8x+16. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-4\right)^{2}=-1$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Förenkla.

$$x-4=i x-4=-i$$

Addera 4 till båda ekvationsled.

$$x=4+i x=4-i$$