Lös 5x^2-4x-1=0

$$5 x ^ { 2 } - 4 x - 1 = 0$$

Lös ut x

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$x=1$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 5x^{2}+ax+bx-1. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-4 ab=5\left(-1\right)=-5$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Det enda sådana paret är systemlösningen.

$$a=-5 b=1$$

Skriv om 5x^{2}-4x-1 som \left(5x^{2}-5x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(x-1\right)$$

Bryt ut 5x i 5x^{2}-5x.

$$5x\left(x-1\right)+x-1$$

Bryt ut den gemensamma termen x-1 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-1\right)\left(5x+1\right)$$

Lös x-1=0 och 5x+1=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$5x^{2}-4x-1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 5, b med -4 och c med -1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrera -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicera -4 med 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicera -20 med -1.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+20}}{2\times 5}$$

Addera 16 till 20.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{36}}{2\times 5}$$

Dra kvadratroten ur 36.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±6}{2\times 5}$$

Motsatsen till -4 är 4.

$$x=\frac{4±6}{2\times 5}$$

Multiplicera 2 med 5.

$$x=\frac{4±6}{10}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{4±6}{10} när ± är plus. Addera 4 till 6.

$$x=\frac{10}{10}$$

Dela 10 med 10.

$$x=1$$

Lös nu ekvationen x=\frac{4±6}{10} när ± är minus. Subtrahera 6 från 4.

$$x=-\frac{2}{10}$$

Minska bråktalet \frac{-2}{10} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-4x-1=0$$

Addera 1 till båda ekvationsled.

$$5x^{2}-4x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Subtraktion av -1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$5x^{2}-4x=-\left(-1\right)$$

Subtrahera -1 från 0.

$$5x^{2}-4x=1$$

Dividera båda led med 5.

$$\frac{5x^{2}-4x}{5}=\frac{1}{5}$$

Division med 5 tar ut multiplikationen med 5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=\frac{1}{5}$$

Dividera -\frac{4}{5}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{2}{5}. Addera sedan kvadraten av -\frac{2}{5} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{1}{5}+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{2}{5} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{1}{5}+\frac{4}{25}$$

Addera \frac{1}{5} till \frac{4}{25} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{9}{25}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{9}{25}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{25}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{2}{5}=\frac{3}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{3}{5}$$

Addera \frac{2}{5} till båda ekvationsled.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$