Lös 5x^2-20x+15=0

$$5 x ^ { 2 } - 20 x + 15 = 0$$

Lös ut x

$$x=1$$

$$x=3$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Dividera båda led med 5.

$$x^{2}-4x+3=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som x^{2}+ax+bx+3. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-4 ab=1\times 3=3$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är negativt är a och b negativa. Det enda sådana paret är systemlösningen.

$$a=-3 b=-1$$

Skriv om x^{2}-4x+3 som \left(x^{2}-3x\right)+\left(-x+3\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(-x+3\right)$$

Utfaktor x i den första och den -1 i den andra gruppen.

$$x\left(x-3\right)-\left(x-3\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x-3 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-3\right)\left(x-1\right)$$

Lös x-3=0 och x-1=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=3 x=1$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$5x^{2}-20x+15=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 5, b med -20 och c med 15 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

Kvadrera -20.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

Multiplicera -4 med 5.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-20\times 15}}{2\times 5}$$

Multiplicera -20 med 15.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-300}}{2\times 5}$$

Addera 400 till -300.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{100}}{2\times 5}$$

Dra kvadratroten ur 100.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±10}{2\times 5}$$

Motsatsen till -20 är 20.

$$x=\frac{20±10}{2\times 5}$$

Multiplicera 2 med 5.

$$x=\frac{20±10}{10}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{20±10}{10} när ± är plus. Addera 20 till 10.

$$x=\frac{30}{10}$$

Dela 30 med 10.

$$x=3$$

Lös nu ekvationen x=\frac{20±10}{10} när ± är minus. Subtrahera 10 från 20.

$$x=\frac{10}{10}$$

Dela 10 med 10.

$$x=1$$

Ekvationen har lösts.

$$x=3 x=1$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-20x+15=0$$

Subtrahera 15 från båda ekvationsled.

$$5x^{2}-20x+15-15=-15$$

Subtraktion av 15 från sig självt ger 0 som resultat.

$$5x^{2}-20x=-15$$

Dividera båda led med 5.

$$\frac{5x^{2}-20x}{5}=-\frac{15}{5}$$

Division med 5 tar ut multiplikationen med 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{20}{5}\right)x=-\frac{15}{5}$$

Dela -20 med 5.

$$x^{2}-4x=-\frac{15}{5}$$

Dela -15 med 5.

$$x^{2}-4x=-3$$

Dividera -4, koefficienten för termen x, med 2 för att få -2. Addera sedan kvadraten av -2 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-3+\left(-2\right)^{2}$$

Kvadrera -2.

$$x^{2}-4x+4=-3+4$$

Addera -3 till 4.

$$x^{2}-4x+4=1$$

Faktorisera x^{2}-4x+4. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-2\right)^{2}=1$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Förenkla.

$$x-2=1 x-2=-1$$

Addera 2 till båda ekvationsled.

$$x=3 x=1$$