Lös 5x^2+6x+10=0

$$5 x ^ { 2 } + 6 x + 10 = 0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5}\approx -0,6+1,280624847i$$

$$x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}\approx -0,6-1,280624847i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$5x^{2}+6x+10=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 5, b med 6 och c med 10 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Kvadrera 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Multiplicera -4 med 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20\times 10}}{2\times 5}$$

Multiplicera -20 med 10.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-200}}{2\times 5}$$

Addera 36 till -200.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-164}}{2\times 5}$$

Dra kvadratroten ur -164.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{2\times 5}$$

Multiplicera 2 med 5.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10} när ± är plus. Addera -6 till 2i\sqrt{41}.

$$x=\frac{-6+2\sqrt{41}i}{10}$$

Dela -6+2i\sqrt{41} med 10.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10} när ± är minus. Subtrahera 2i\sqrt{41} från -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{41}i-6}{10}$$

Dela -6-2i\sqrt{41} med 10.

$$x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5} x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+6x+10=0$$

Subtrahera 10 från båda ekvationsled.

$$5x^{2}+6x+10-10=-10$$

Subtraktion av 10 från sig självt ger 0 som resultat.

$$5x^{2}+6x=-10$$

Dividera båda led med 5.

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=-\frac{10}{5}$$

Division med 5 tar ut multiplikationen med 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-\frac{10}{5}$$

Dela -10 med 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-2$$

Dividera \frac{6}{5}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{3}{5}. Addera sedan kvadraten av \frac{3}{5} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{3}{5} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=-2+\frac{9}{25}$$

Addera -2 till \frac{9}{25}.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=-\frac{41}{25}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=-\frac{41}{25}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{41}{25}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{\sqrt{41}i}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{\sqrt{41}i}{5}$$

Subtrahera \frac{3}{5} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5} x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$