Lös 5x^2+4x+3=0

$$5 x ^ { 2 } + 4 x + 3 = 0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5}\approx -0,4+0,663324958i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}\approx -0,4-0,663324958i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$5x^{2}+4x+3=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 5, b med 4 och c med 3 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Kvadrera 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Multiplicera -4 med 5.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-20\times 3}}{2\times 5}$$

Multiplicera -20 med 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60}}{2\times 5}$$

Addera 16 till -60.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-44}}{2\times 5}$$

Dra kvadratroten ur -44.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

Multiplicera 2 med 5.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{10}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{10} när ± är plus. Addera -4 till 2i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{11}i}{10}$$

Dela -4+2i\sqrt{11} med 10.

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{10} när ± är minus. Subtrahera 2i\sqrt{11} från -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}i-4}{10}$$

Dela -4-2i\sqrt{11} med 10.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5} x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+4x+3=0$$

Subtrahera 3 från båda ekvationsled.

$$5x^{2}+4x+3-3=-3$$

Subtraktion av 3 från sig självt ger 0 som resultat.

$$5x^{2}+4x=-3$$

Dividera båda led med 5.

$$\frac{5x^{2}+4x}{5}=-\frac{3}{5}$$

Division med 5 tar ut multiplikationen med 5.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x=-\frac{3}{5}$$

Dividera \frac{4}{5}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{2}{5}. Addera sedan kvadraten av \frac{2}{5} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{3}{5}+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{2}{5} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{3}{5}+\frac{4}{25}$$

Addera -\frac{3}{5} till \frac{4}{25} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{11}{25}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{11}{25}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{25}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{11}i}{5} x+\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{11}i}{5}$$

Subtrahera \frac{2}{5} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5} x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}$$