Lös 5x^2+3x-11=0

$$5 x ^ { 2 } + 3 x - 11 = 0$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{229} - 3}{10} \approx 1,213274595$$

$$x=\frac{-\sqrt{229}-3}{10}\approx -1,813274595$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$5x^{2}+3x-11=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 5, b med 3 och c med -11 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrera 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicera -4 med 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-20\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicera -20 med -11.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+220}}{2\times 5}$$

Addera 9 till 220.

$$x=\frac{-3±\sqrt{229}}{2\times 5}$$

Multiplicera 2 med 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{229}}{10}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-3±\sqrt{229}}{10} när ± är plus. Addera -3 till \sqrt{229}.

$$x=\frac{\sqrt{229}-3}{10}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-3±\sqrt{229}}{10} när ± är minus. Subtrahera \sqrt{229} från -3.

$$x=\frac{-\sqrt{229}-3}{10}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{229}-3}{10} x=\frac{-\sqrt{229}-3}{10}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+3x-11=0$$

Addera 11 till båda ekvationsled.

$$5x^{2}+3x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Subtraktion av -11 från sig självt ger 0 som resultat.

$$5x^{2}+3x=-\left(-11\right)$$

Subtrahera -11 från 0.

$$5x^{2}+3x=11$$

Dividera båda led med 5.

$$\frac{5x^{2}+3x}{5}=\frac{11}{5}$$

Division med 5 tar ut multiplikationen med 5.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=\frac{11}{5}$$

Dividera \frac{3}{5}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{3}{10}. Addera sedan kvadraten av \frac{3}{10} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{11}{5}+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{3}{10} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{11}{5}+\frac{9}{100}$$

Addera \frac{11}{5} till \frac{9}{100} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{229}{100}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{229}{100}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{229}{100}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{229}}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{229}}{10}$$

Subtrahera \frac{3}{10} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{229}-3}{10} x=\frac{-\sqrt{229}-3}{10}$$