Lös 5x^2+3x+1=0

$$5 x ^ { 2 } + 3 x + 1 = 0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}\approx -0,3+0,331662479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}\approx -0,3-0,331662479i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 5, b med 3 och c med 1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

Kvadrera 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5}}{2\times 5}$$

Multiplicera -4 med 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-20}}{2\times 5}$$

Addera 9 till -20.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-11}}{2\times 5}$$

Dra kvadratroten ur -11.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

Multiplicera 2 med 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10} när ± är plus. Addera -3 till i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10} när ± är minus. Subtrahera i\sqrt{11} från -3.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

Subtrahera 1 från båda ekvationsled.

$$5x^{2}+3x+1-1=-1$$

Subtraktion av 1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$5x^{2}+3x=-1$$

Dividera båda led med 5.

$$\frac{5x^{2}+3x}{5}=-\frac{1}{5}$$

Division med 5 tar ut multiplikationen med 5.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=-\frac{1}{5}$$

Dividera \frac{3}{5}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{3}{10}. Addera sedan kvadraten av \frac{3}{10} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{3}{10} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{1}{5}+\frac{9}{100}$$

Addera -\frac{1}{5} till \frac{9}{100} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{11}{100}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{11}{100}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{100}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{11}i}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{11}i}{10}$$

Subtrahera \frac{3}{10} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$