Lös 5x^2+21x+4=0

$$5 x ^ { 2 } + 21 x + 4 = 0$$

Lös ut x

$$x=-4$$

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 5x^{2}+ax+bx+4. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=21 ab=5\times 4=20$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är positivt är a och b positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 20.

$$1,20 2,10 4,5$$

Beräkna summan för varje par.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

Lösningen är det par som ger Summa 21.

$$a=1 b=20$$

Skriv om 5x^{2}+21x+4 som \left(5x^{2}+x\right)+\left(20x+4\right).

$$\left(5x^{2}+x\right)+\left(20x+4\right)$$

Utfaktor x i den första och den 4 i den andra gruppen.

$$x\left(5x+1\right)+4\left(5x+1\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 5x+1 genom att använda distributivitet.

$$\left(5x+1\right)\left(x+4\right)$$

Lös 5x+1=0 och x+4=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$5x^{2}+21x+4=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 5, b med 21 och c med 4 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

Kvadrera 21.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

Multiplicera -4 med 5.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-20\times 4}}{2\times 5}$$

Multiplicera -20 med 4.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-80}}{2\times 5}$$

Addera 441 till -80.

$$x=\frac{-21±\sqrt{361}}{2\times 5}$$

Dra kvadratroten ur 361.

$$x=\frac{-21±19}{2\times 5}$$

Multiplicera 2 med 5.

$$x=\frac{-21±19}{10}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-21±19}{10} när ± är plus. Addera -21 till 19.

$$x=-\frac{2}{10}$$

Minska bråktalet \frac{-2}{10} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-21±19}{10} när ± är minus. Subtrahera 19 från -21.

$$x=-\frac{40}{10}$$

Dela -40 med 10.

$$x=-4$$

Ekvationen har lösts.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+21x+4=0$$

Subtrahera 4 från båda ekvationsled.

$$5x^{2}+21x+4-4=-4$$

Subtraktion av 4 från sig självt ger 0 som resultat.

$$5x^{2}+21x=-4$$

Dividera båda led med 5.

$$\frac{5x^{2}+21x}{5}=-\frac{4}{5}$$

Division med 5 tar ut multiplikationen med 5.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x=-\frac{4}{5}$$

Dividera \frac{21}{5}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{21}{10}. Addera sedan kvadraten av \frac{21}{10} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\left(\frac{21}{10}\right)^{2}=-\frac{4}{5}+\left(\frac{21}{10}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{21}{10} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}=-\frac{4}{5}+\frac{441}{100}$$

Addera -\frac{4}{5} till \frac{441}{100} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}=\frac{361}{100}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{21}{10}\right)^{2}=\frac{361}{100}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{21}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{100}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{21}{10}=\frac{19}{10} x+\frac{21}{10}=-\frac{19}{10}$$

Subtrahera \frac{21}{10} från båda ekvationsled.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$