Lös 5x^2+2x+8=0

$$5 x ^ { 2 } + 2 x + 8 = 0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{39}i}{5}\approx -0,2+1,2489996i$$

$$x=\frac{-\sqrt{39}i-1}{5}\approx -0,2-1,2489996i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$5x^{2}+2x+8=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 5, b med 2 och c med 8 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 5\times 8}}{2\times 5}$$

Kvadrera 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 5\times 8}}{2\times 5}$$

Multiplicera -4 med 5.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-20\times 8}}{2\times 5}$$

Multiplicera -20 med 8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-160}}{2\times 5}$$

Addera 4 till -160.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-156}}{2\times 5}$$

Dra kvadratroten ur -156.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{39}i}{2\times 5}$$

Multiplicera 2 med 5.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{39}i}{10}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-2±2\sqrt{39}i}{10} när ± är plus. Addera -2 till 2i\sqrt{39}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{39}i}{10}$$

Dela -2+2i\sqrt{39} med 10.

$$x=\frac{-1+\sqrt{39}i}{5}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-2±2\sqrt{39}i}{10} när ± är minus. Subtrahera 2i\sqrt{39} från -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{39}i-2}{10}$$

Dela -2-2i\sqrt{39} med 10.

$$x=\frac{-\sqrt{39}i-1}{5}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{-1+\sqrt{39}i}{5} x=\frac{-\sqrt{39}i-1}{5}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+2x+8=0$$

Subtrahera 8 från båda ekvationsled.

$$5x^{2}+2x+8-8=-8$$

Subtraktion av 8 från sig självt ger 0 som resultat.

$$5x^{2}+2x=-8$$

Dividera båda led med 5.

$$\frac{5x^{2}+2x}{5}=-\frac{8}{5}$$

Division med 5 tar ut multiplikationen med 5.

$$x^{2}+\frac{2}{5}x=-\frac{8}{5}$$

Dividera \frac{2}{5}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{1}{5}. Addera sedan kvadraten av \frac{1}{5} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{2}{5}x+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{8}{5}+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{1}{5} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{8}{5}+\frac{1}{25}$$

Addera -\frac{8}{5} till \frac{1}{25} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{39}{25}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. I allmänhet gäller att om x^{2}+bx+c är en jämn kvadrat kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{39}{25}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{39}{25}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{1}{5}=\frac{\sqrt{39}i}{5} x+\frac{1}{5}=-\frac{\sqrt{39}i}{5}$$

Subtrahera \frac{1}{5} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{-1+\sqrt{39}i}{5} x=\frac{-\sqrt{39}i-1}{5}$$