Lös 5y^2-90y+54=0

$$5 { y }^{ 2 } -90y+54 = 0$$

Lös ut y

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 17,378544026$$

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 0,621455974$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 5, b med -90 och c med 54 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

Kvadrera -90.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

Multiplicera -4 med 5.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-20\times 54}}{2\times 5}$$

Multiplicera -20 med 54.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-1080}}{2\times 5}$$

Addera 8100 till -1080.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{7020}}{2\times 5}$$

Dra kvadratroten ur 7020.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

Motsatsen till -90 är 90.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

Multiplicera 2 med 5.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10}$$

Lös nu ekvationen y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10} när ± är plus. Addera 90 till 6\sqrt{195}.

$$y=\frac{6\sqrt{195}+90}{10}$$

Dela 90+6\sqrt{195} med 10.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Lös nu ekvationen y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10} när ± är minus. Subtrahera 6\sqrt{195} från 90.

$$y=\frac{90-6\sqrt{195}}{10}$$

Dela 90-6\sqrt{195} med 10.

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Ekvationen har lösts.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

Subtrahera 54 från båda ekvationsled.

$$5y^{2}-90y+54-54=-54$$

Subtraktion av 54 från sig självt ger 0 som resultat.

$$5y^{2}-90y=-54$$

Dividera båda led med 5.

$$\frac{5y^{2}-90y}{5}=-\frac{54}{5}$$

Division med 5 tar ut multiplikationen med 5.

$$y^{2}+\left(-\frac{90}{5}\right)y=-\frac{54}{5}$$

Dela -90 med 5.

$$y^{2}-18y=-\frac{54}{5}$$

Dividera -18, koefficienten för termen x, med 2 för att få -9. Addera sedan kvadraten av -9 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$y^{2}-18y+\left(-9\right)^{2}=-\frac{54}{5}+\left(-9\right)^{2}$$

Kvadrera -9.

$$y^{2}-18y+81=-\frac{54}{5}+81$$

Addera -\frac{54}{5} till 81.

$$y^{2}-18y+81=\frac{351}{5}$$

Faktorisera y^{2}-18y+81. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(y-9\right)^{2}=\frac{351}{5}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(y-9\right)^{2}}=\sqrt{\frac{351}{5}}$$

Förenkla.

$$y-9=\frac{3\sqrt{195}}{5} y-9=-\frac{3\sqrt{195}}{5}$$

Addera 9 till båda ekvationsled.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$