Lös 5x^2-x-2184=0

$$5 { x }^{ 2 } -x-2184=0$$

Lös ut x

$$x = -\frac{104}{5} = -20\frac{4}{5} = -20,8$$

$$x=21$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 5x^{2}+ax+bx-2184. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-1 ab=5\left(-2184\right)=-10920$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -10920.

$$1,-10920 2,-5460 3,-3640 4,-2730 5,-2184 6,-1820 7,-1560 8,-1365 10,-1092 12,-910 13,-840 14,-780 15,-728 20,-546 21,-520 24,-455 26,-420 28,-390 30,-364 35,-312 39,-280 40,-273 42,-260 52,-210 56,-195 60,-182 65,-168 70,-156 78,-140 84,-130 91,-120 104,-105$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-10920=-10919 2-5460=-5458 3-3640=-3637 4-2730=-2726 5-2184=-2179 6-1820=-1814 7-1560=-1553 8-1365=-1357 10-1092=-1082 12-910=-898 13-840=-827 14-780=-766 15-728=-713 20-546=-526 21-520=-499 24-455=-431 26-420=-394 28-390=-362 30-364=-334 35-312=-277 39-280=-241 40-273=-233 42-260=-218 52-210=-158 56-195=-139 60-182=-122 65-168=-103 70-156=-86 78-140=-62 84-130=-46 91-120=-29 104-105=-1$$

Lösningen är det par som ger Summa -1.

$$a=-105 b=104$$

Skriv om 5x^{2}-x-2184 som \left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right).

$$\left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right)$$

Utfaktor 5x i den första och den 104 i den andra gruppen.

$$5x\left(x-21\right)+104\left(x-21\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x-21 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-21\right)\left(5x+104\right)$$

Lös x-21=0 och 5x+104=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 5, b med -1 och c med -2184 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicera -4 med 5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicera -20 med -2184.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+43680}}{2\times 5}$$

Addera 1 till 43680.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{43681}}{2\times 5}$$

Dra kvadratroten ur 43681.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±209}{2\times 5}$$

Motsatsen till -1 är 1.

$$x=\frac{1±209}{2\times 5}$$

Multiplicera 2 med 5.

$$x=\frac{1±209}{10}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{1±209}{10} när ± är plus. Addera 1 till 209.

$$x=\frac{210}{10}$$

Dela 210 med 10.

$$x=21$$

Lös nu ekvationen x=\frac{1±209}{10} när ± är minus. Subtrahera 209 från 1.

$$x=-\frac{208}{10}$$

Minska bråktalet \frac{-208}{10} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=-\frac{104}{5}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Addera 2184 till båda ekvationsled.

$$5x^{2}-x-2184-\left(-2184\right)=-\left(-2184\right)$$

Subtraktion av -2184 från sig självt ger 0 som resultat.

$$5x^{2}-x=-\left(-2184\right)$$

Subtrahera -2184 från 0.

$$5x^{2}-x=2184$$

Dividera båda led med 5.

$$\frac{5x^{2}-x}{5}=\frac{2184}{5}$$

Division med 5 tar ut multiplikationen med 5.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{2184}{5}$$

Dividera -\frac{1}{5}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{10}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{10} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{2184}{5}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{10} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{2184}{5}+\frac{1}{100}$$

Addera \frac{2184}{5} till \frac{1}{100} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{43681}{100}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{43681}{100}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{43681}{100}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{209}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{209}{10}$$

Addera \frac{1}{10} till båda ekvationsled.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$