Lös 5x^2-4x+5=0

$$5 { x }^{ 2 } -4x+5 = 0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{2+\sqrt{21}i}{5}\approx 0,4+0,916515139i$$

$$x=\frac{-\sqrt{21}i+2}{5}\approx 0,4-0,916515139i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$5x^{2}-4x+5=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 5, b med -4 och c med 5 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

Kvadrera -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

Multiplicera -4 med 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\times 5}}{2\times 5}$$

Multiplicera -20 med 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-100}}{2\times 5}$$

Addera 16 till -100.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-84}}{2\times 5}$$

Dra kvadratroten ur -84.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{21}i}{2\times 5}$$

Motsatsen till -4 är 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{21}i}{2\times 5}$$

Multiplicera 2 med 5.

$$x=\frac{4±2\sqrt{21}i}{10}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{4±2\sqrt{21}i}{10} när ± är plus. Addera 4 till 2i\sqrt{21}.

$$x=\frac{4+2\sqrt{21}i}{10}$$

Dela 4+2i\sqrt{21} med 10.

$$x=\frac{2+\sqrt{21}i}{5}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{4±2\sqrt{21}i}{10} när ± är minus. Subtrahera 2i\sqrt{21} från 4.

$$x=\frac{-2\sqrt{21}i+4}{10}$$

Dela 4-2i\sqrt{21} med 10.

$$x=\frac{-\sqrt{21}i+2}{5}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{2+\sqrt{21}i}{5} x=\frac{-\sqrt{21}i+2}{5}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-4x+5=0$$

Subtrahera 5 från båda ekvationsled.

$$5x^{2}-4x+5-5=-5$$

Subtraktion av 5 från sig självt ger 0 som resultat.

$$5x^{2}-4x=-5$$

Dividera båda led med 5.

$$\frac{5x^{2}-4x}{5}=-\frac{5}{5}$$

Division med 5 tar ut multiplikationen med 5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-\frac{5}{5}$$

Dela -5 med 5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-1$$

Dividera -\frac{4}{5}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{2}{5}. Addera sedan kvadraten av -\frac{2}{5} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{2}{5} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-1+\frac{4}{25}$$

Addera -1 till \frac{4}{25}.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{21}{25}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{21}{25}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{21}{25}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{21}i}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{21}i}{5}$$

Addera \frac{2}{5} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{2+\sqrt{21}i}{5} x=\frac{-\sqrt{21}i+2}{5}$$