Lös 5x^2-3x=9

$$5 { x }^{ 2 } -3x = 9$$

Lös ut x

$$x = \frac{3 \sqrt{21} + 3}{10} \approx 1,674772708$$

$$x=\frac{3-3\sqrt{21}}{10}\approx -1,074772708$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$5x^{2}-3x=9$$

Subtrahera 9 från båda ekvationsled.

$$5x^{2}-3x-9=9-9$$

Subtraktion av 9 från sig självt ger 0 som resultat.

$$5x^{2}-3x-9=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 5, b med -3 och c med -9 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 5\left(-9\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrera -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 5\left(-9\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicera -4 med 5.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-20\left(-9\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicera -20 med -9.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+180}}{2\times 5}$$

Addera 9 till 180.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{189}}{2\times 5}$$

Dra kvadratroten ur 189.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±3\sqrt{21}}{2\times 5}$$

Motsatsen till -3 är 3.

$$x=\frac{3±3\sqrt{21}}{2\times 5}$$

Multiplicera 2 med 5.

$$x=\frac{3±3\sqrt{21}}{10}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{3±3\sqrt{21}}{10} när ± är plus. Addera 3 till 3\sqrt{21}.

$$x=\frac{3\sqrt{21}+3}{10}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{3±3\sqrt{21}}{10} när ± är minus. Subtrahera 3\sqrt{21} från 3.

$$x=\frac{3-3\sqrt{21}}{10}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{3\sqrt{21}+3}{10} x=\frac{3-3\sqrt{21}}{10}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-3x=9$$

Dividera båda led med 5.

$$\frac{5x^{2}-3x}{5}=\frac{9}{5}$$

Division med 5 tar ut multiplikationen med 5.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x=\frac{9}{5}$$

Dividera -\frac{3}{5}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{3}{10}. Addera sedan kvadraten av -\frac{3}{10} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{9}{5}+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{3}{10} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{9}{5}+\frac{9}{100}$$

Addera \frac{9}{5} till \frac{9}{100} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{189}{100}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{189}{100}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{189}{100}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{3}{10}=\frac{3\sqrt{21}}{10} x-\frac{3}{10}=-\frac{3\sqrt{21}}{10}$$

Addera \frac{3}{10} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{3\sqrt{21}+3}{10} x=\frac{3-3\sqrt{21}}{10}$$