Lös 5x^2-29x-42=0

$$5 { x }^{ 2 } -29x-42=0$$

Lös ut x

$$x = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1,2$$

$$x=7$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 5x^{2}+ax+bx-42. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-29 ab=5\left(-42\right)=-210$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Lösningen är det par som ger Summa -29.

$$a=-35 b=6$$

Skriv om 5x^{2}-29x-42 som \left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right).

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right)$$

Utfaktor 5x i den första och den 6 i den andra gruppen.

$$5x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x-7 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-7\right)\left(5x+6\right)$$

Lös x-7=0 och 5x+6=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 5, b med -29 och c med -42 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrera -29.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicera -4 med 5.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-20\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicera -20 med -42.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 5}$$

Addera 841 till 840.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 5}$$

Dra kvadratroten ur 1681.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 5}$$

Motsatsen till -29 är 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 5}$$

Multiplicera 2 med 5.

$$x=\frac{29±41}{10}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{29±41}{10} när ± är plus. Addera 29 till 41.

$$x=\frac{70}{10}$$

Dela 70 med 10.

$$x=7$$

Lös nu ekvationen x=\frac{29±41}{10} när ± är minus. Subtrahera 41 från 29.

$$x=-\frac{12}{10}$$

Minska bråktalet \frac{-12}{10} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=-\frac{6}{5}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Addera 42 till båda ekvationsled.

$$5x^{2}-29x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

Subtraktion av -42 från sig självt ger 0 som resultat.

$$5x^{2}-29x=-\left(-42\right)$$

Subtrahera -42 från 0.

$$5x^{2}-29x=42$$

Dividera båda led med 5.

$$\frac{5x^{2}-29x}{5}=\frac{42}{5}$$

Division med 5 tar ut multiplikationen med 5.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x=\frac{42}{5}$$

Dividera -\frac{29}{5}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{29}{10}. Addera sedan kvadraten av -\frac{29}{10} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{42}{5}+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{29}{10} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{42}{5}+\frac{841}{100}$$

Addera \frac{42}{5} till \frac{841}{100} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{1681}{100}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{1681}{100}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{100}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{29}{10}=\frac{41}{10} x-\frac{29}{10}=-\frac{41}{10}$$

Addera \frac{29}{10} till båda ekvationsled.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$