Lös 5x^2-24x-68=0

$$5 { x }^{ 2 } -24x-68=0$$

Lös ut x

$$x=-2$$

$$x = \frac{34}{5} = 6\frac{4}{5} = 6,8$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 5x^{2}+ax+bx-68. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-24 ab=5\left(-68\right)=-340$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -340.

$$1,-340 2,-170 4,-85 5,-68 10,-34 17,-20$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-340=-339 2-170=-168 4-85=-81 5-68=-63 10-34=-24 17-20=-3$$

Lösningen är det par som ger Summa -24.

$$a=-34 b=10$$

Skriv om 5x^{2}-24x-68 som \left(5x^{2}-34x\right)+\left(10x-68\right).

$$\left(5x^{2}-34x\right)+\left(10x-68\right)$$

Utfaktor x i den första och den 2 i den andra gruppen.

$$x\left(5x-34\right)+2\left(5x-34\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 5x-34 genom att använda distributivitet.

$$\left(5x-34\right)\left(x+2\right)$$

Lös 5x-34=0 och x+2=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=\frac{34}{5} x=-2$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$5x^{2}-24x-68=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 5, b med -24 och c med -68 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 5\left(-68\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrera -24.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 5\left(-68\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicera -4 med 5.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-20\left(-68\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicera -20 med -68.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+1360}}{2\times 5}$$

Addera 576 till 1360.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{1936}}{2\times 5}$$

Dra kvadratroten ur 1936.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±44}{2\times 5}$$

Motsatsen till -24 är 24.

$$x=\frac{24±44}{2\times 5}$$

Multiplicera 2 med 5.

$$x=\frac{24±44}{10}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{24±44}{10} när ± är plus. Addera 24 till 44.

$$x=\frac{68}{10}$$

Minska bråktalet \frac{68}{10} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=\frac{34}{5}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{24±44}{10} när ± är minus. Subtrahera 44 från 24.

$$x=-\frac{20}{10}$$

Dela -20 med 10.

$$x=-2$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{34}{5} x=-2$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-24x-68=0$$

Addera 68 till båda ekvationsled.

$$5x^{2}-24x-68-\left(-68\right)=-\left(-68\right)$$

Subtraktion av -68 från sig självt ger 0 som resultat.

$$5x^{2}-24x=-\left(-68\right)$$

Subtrahera -68 från 0.

$$5x^{2}-24x=68$$

Dividera båda led med 5.

$$\frac{5x^{2}-24x}{5}=\frac{68}{5}$$

Division med 5 tar ut multiplikationen med 5.

$$x^{2}-\frac{24}{5}x=\frac{68}{5}$$

Dividera -\frac{24}{5}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{12}{5}. Addera sedan kvadraten av -\frac{12}{5} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{24}{5}x+\left(-\frac{12}{5}\right)^{2}=\frac{68}{5}+\left(-\frac{12}{5}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{12}{5} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{24}{5}x+\frac{144}{25}=\frac{68}{5}+\frac{144}{25}$$

Addera \frac{68}{5} till \frac{144}{25} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{24}{5}x+\frac{144}{25}=\frac{484}{25}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{24}{5}x+\frac{144}{25}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{12}{5}\right)^{2}=\frac{484}{25}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{12}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{484}{25}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{12}{5}=\frac{22}{5} x-\frac{12}{5}=-\frac{22}{5}$$

Addera \frac{12}{5} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{34}{5} x=-2$$