Lös 5x^2-12x-7=0

$$5 { x }^{ 2 } -12x-7=0$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{71} + 6}{5} \approx 2,885229955$$

$$x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}\approx -0,485229955$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$5x^{2}-12x-7=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 5, b med -12 och c med -7 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrera -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicera -4 med 5.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-20\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicera -20 med -7.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+140}}{2\times 5}$$

Addera 144 till 140.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{284}}{2\times 5}$$

Dra kvadratroten ur 284.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±2\sqrt{71}}{2\times 5}$$

Motsatsen till -12 är 12.

$$x=\frac{12±2\sqrt{71}}{2\times 5}$$

Multiplicera 2 med 5.

$$x=\frac{12±2\sqrt{71}}{10}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{12±2\sqrt{71}}{10} när ± är plus. Addera 12 till 2\sqrt{71}.

$$x=\frac{2\sqrt{71}+12}{10}$$

Dela 12+2\sqrt{71} med 10.

$$x=\frac{\sqrt{71}+6}{5}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{12±2\sqrt{71}}{10} när ± är minus. Subtrahera 2\sqrt{71} från 12.

$$x=\frac{12-2\sqrt{71}}{10}$$

Dela 12-2\sqrt{71} med 10.

$$x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{71}+6}{5} x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-12x-7=0$$

Addera 7 till båda ekvationsled.

$$5x^{2}-12x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Subtraktion av -7 från sig självt ger 0 som resultat.

$$5x^{2}-12x=-\left(-7\right)$$

Subtrahera -7 från 0.

$$5x^{2}-12x=7$$

Dividera båda led med 5.

$$\frac{5x^{2}-12x}{5}=\frac{7}{5}$$

Division med 5 tar ut multiplikationen med 5.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x=\frac{7}{5}$$

Dividera -\frac{12}{5}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{6}{5}. Addera sedan kvadraten av -\frac{6}{5} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{7}{5}+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{6}{5} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{7}{5}+\frac{36}{25}$$

Addera \frac{7}{5} till \frac{36}{25} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{71}{25}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{71}{25}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{71}{25}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{6}{5}=\frac{\sqrt{71}}{5} x-\frac{6}{5}=-\frac{\sqrt{71}}{5}$$

Addera \frac{6}{5} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{71}+6}{5} x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}$$