Lös 5x^2+5x+9=0

$$5 { x }^{ 2 } +5x+9=0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}\approx -0,5+1,24498996i$$

$$x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}\approx -0,5-1,24498996i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$5x^{2}+5x+9=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 5, b med 5 och c med 9 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

Kvadrera 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

Multiplicera -4 med 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-20\times 9}}{2\times 5}$$

Multiplicera -20 med 9.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-180}}{2\times 5}$$

Addera 25 till -180.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-155}}{2\times 5}$$

Dra kvadratroten ur -155.

$$x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{2\times 5}$$

Multiplicera 2 med 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{10}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{10} när ± är plus. Addera -5 till i\sqrt{155}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{155}i}{10}$$

Dela -5+i\sqrt{155} med 10.

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{10} när ± är minus. Subtrahera i\sqrt{155} från -5.

$$x=\frac{-\sqrt{155}i-5}{10}$$

Dela -5-i\sqrt{155} med 10.

$$x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+5x+9=0$$

Subtrahera 9 från båda ekvationsled.

$$5x^{2}+5x+9-9=-9$$

Subtraktion av 9 från sig självt ger 0 som resultat.

$$5x^{2}+5x=-9$$

Dividera båda led med 5.

$$\frac{5x^{2}+5x}{5}=-\frac{9}{5}$$

Division med 5 tar ut multiplikationen med 5.

$$x^{2}+\frac{5}{5}x=-\frac{9}{5}$$

Dela 5 med 5.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{5}$$

Dividera 1, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{1}{2}. Addera sedan kvadraten av \frac{1}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{5}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{1}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{9}{5}+\frac{1}{4}$$

Addera -\frac{9}{5} till \frac{1}{4} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{31}{20}$$

Faktorisera x^{2}+x+\frac{1}{4}. I allmänhet gäller att om x^{2}+bx+c är en jämn kvadrat kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{31}{20}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{20}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{155}i}{10} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{155}i}{10}$$

Subtrahera \frac{1}{2} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$