Lös 5x^2+23x+12

$$5 { x }^{ 2 } +23x+12$$

Faktorisera

$$\left(x+4\right)\left(5x+3\right)$$

Lösningssteg

Faktorisera uttrycket genom gruppering. Först måste uttrycket skrivas om som 5x^{2}+ax+bx+12. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=23 ab=5\times 12=60$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är positivt är a och b positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 60.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Beräkna summan för varje par.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

Lösningen är det par som ger Summa 23.

$$a=3 b=20$$

Skriv om 5x^{2}+23x+12 som \left(5x^{2}+3x\right)+\left(20x+12\right).

$$\left(5x^{2}+3x\right)+\left(20x+12\right)$$

Utfaktor x i den första och den 4 i den andra gruppen.

$$x\left(5x+3\right)+4\left(5x+3\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 5x+3 genom att använda distributivitet.

$$\left(5x+3\right)\left(x+4\right)$$

Steg med lösningsformeln

Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$5x^{2}+23x+12=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 5\times 12}}{2\times 5}$$

Kvadrera 23.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 5\times 12}}{2\times 5}$$

Multiplicera -4 med 5.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-20\times 12}}{2\times 5}$$

Multiplicera -20 med 12.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-240}}{2\times 5}$$

Addera 529 till -240.

$$x=\frac{-23±\sqrt{289}}{2\times 5}$$

Dra kvadratroten ur 289.

$$x=\frac{-23±17}{2\times 5}$$

Multiplicera 2 med 5.

$$x=\frac{-23±17}{10}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-23±17}{10} när ± är plus. Addera -23 till 17.

$$x=-\frac{6}{10}$$

Minska bråktalet \frac{-6}{10} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-23±17}{10} när ± är minus. Subtrahera 17 från -23.

$$x=-\frac{40}{10}$$

Dela -40 med 10.

$$x=-4$$

Faktorisera det ursprungliga uttrycket med ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Ersätt x_{1} med -\frac{3}{5} och x_{2} med -4.

$$5x^{2}+23x+12=5\left(x-\left(-\frac{3}{5}\right)\right)\left(x-\left(-4\right)\right)$$

Förenkla alla uttryck på formen p-\left(-q\right) till p+q.

$$5x^{2}+23x+12=5\left(x+\frac{3}{5}\right)\left(x+4\right)$$

Addera \frac{3}{5} till x genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$5x^{2}+23x+12=5\times \frac{5x+3}{5}\left(x+4\right)$$

Tar ut den största gemensamma faktorn 5 i 5 och 5.

$$5x^{2}+23x+12=\left(5x+3\right)\left(x+4\right)$$

Beräkna

$$\left(x+4\right)\left(5x+3\right)$$