Lös 5x^2+10x-75=0

$$5 { x }^{ 2 } +10x-75 = 0$$

Lös ut x

$$x=-5$$

$$x=3$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Dividera båda led med 5.

$$x^{2}+2x-15=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som x^{2}+ax+bx-15. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=2 ab=1\left(-15\right)=-15$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -15.

$$-1,15 -3,5$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Lösningen är det par som ger Summa 2.

$$a=-3 b=5$$

Skriv om x^{2}+2x-15 som \left(x^{2}-3x\right)+\left(5x-15\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(5x-15\right)$$

Utfaktor x i den första och den 5 i den andra gruppen.

$$x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x-3 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-3\right)\left(x+5\right)$$

Lös x-3=0 och x+5=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=3 x=-5$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$5x^{2}+10x-75=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 5, b med 10 och c med -75 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrera 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicera -4 med 5.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-20\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicera -20 med -75.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+1500}}{2\times 5}$$

Addera 100 till 1500.

$$x=\frac{-10±\sqrt{1600}}{2\times 5}$$

Dra kvadratroten ur 1600.

$$x=\frac{-10±40}{2\times 5}$$

Multiplicera 2 med 5.

$$x=\frac{-10±40}{10}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-10±40}{10} när ± är plus. Addera -10 till 40.

$$x=\frac{30}{10}$$

Dela 30 med 10.

$$x=3$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-10±40}{10} när ± är minus. Subtrahera 40 från -10.

$$x=-\frac{50}{10}$$

Dela -50 med 10.

$$x=-5$$

Ekvationen har lösts.

$$x=3 x=-5$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+10x-75=0$$

Addera 75 till båda ekvationsled.

$$5x^{2}+10x-75-\left(-75\right)=-\left(-75\right)$$

Subtraktion av -75 från sig självt ger 0 som resultat.

$$5x^{2}+10x=-\left(-75\right)$$

Subtrahera -75 från 0.

$$5x^{2}+10x=75$$

Dividera båda led med 5.

$$\frac{5x^{2}+10x}{5}=\frac{75}{5}$$

Division med 5 tar ut multiplikationen med 5.

$$x^{2}+\frac{10}{5}x=\frac{75}{5}$$

Dela 10 med 5.

$$x^{2}+2x=\frac{75}{5}$$

Dela 75 med 5.

$$x^{2}+2x=15$$

Dividera 2, koefficienten för termen x, med 2 för att få 1. Addera sedan kvadraten av 1 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+2x+1^{2}=15+1^{2}$$

Kvadrera 1.

$$x^{2}+2x+1=15+1$$

Addera 15 till 1.

$$x^{2}+2x+1=16$$

Faktorisera x^{2}+2x+1. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+1\right)^{2}=16$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Förenkla.

$$x+1=4 x+1=-4$$

Subtrahera 1 från båda ekvationsled.

$$x=3 x=-5$$