Lös 5sqrt{x-3}=7-x

$$5 \sqrt { x - 3 } = 7 - x$$

Lös ut x

$$x = \frac{39 - 5 \sqrt{41}}{2} \approx 3,492189406$$

Lösningssteg

Kvadrera båda ekvationsled.

$$\left(5\sqrt{x-3}\right)^{2}=\left(7-x\right)^{2}$$

Utveckla \left(5\sqrt{x-3}\right)^{2}.

$$5^{2}\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}=\left(7-x\right)^{2}$$

Beräkna 5 upphöjt till 2 och få 25.

$$25\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}=\left(7-x\right)^{2}$$

Beräkna \sqrt{x-3} upphöjt till 2 och få x-3.

$$25\left(x-3\right)=\left(7-x\right)^{2}$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 25 med x-3.

$$25x-75=\left(7-x\right)^{2}$$

Använd binomialsatsen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} för att expandera \left(7-x\right)^{2}.

$$25x-75=49-14x+x^{2}$$

Subtrahera 49 från båda led.

$$25x-75-49=-14x+x^{2}$$

Subtrahera 49 från -75 för att få -124.

$$25x-124=-14x+x^{2}$$

Lägg till 14x på båda sidorna.

$$25x-124+14x=x^{2}$$

Slå ihop 25x och 14x för att få 39x.

$$39x-124=x^{2}$$

Subtrahera x^{2} från båda led.

$$39x-124-x^{2}=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-x^{2}+39x-124=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -1, b med 39 och c med -124 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-39±\sqrt{39^{2}-4\left(-1\right)\left(-124\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrera 39.

$$x=\frac{-39±\sqrt{1521-4\left(-1\right)\left(-124\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera -4 med -1.

$$x=\frac{-39±\sqrt{1521+4\left(-124\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 4 med -124.

$$x=\frac{-39±\sqrt{1521-496}}{2\left(-1\right)}$$

Addera 1521 till -496.

$$x=\frac{-39±\sqrt{1025}}{2\left(-1\right)}$$

Dra kvadratroten ur 1025.

$$x=\frac{-39±5\sqrt{41}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 2 med -1.

$$x=\frac{-39±5\sqrt{41}}{-2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-39±5\sqrt{41}}{-2} när ± är plus. Addera -39 till 5\sqrt{41}.

$$x=\frac{5\sqrt{41}-39}{-2}$$

Dela -39+5\sqrt{41} med -2.

$$x=\frac{39-5\sqrt{41}}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-39±5\sqrt{41}}{-2} när ± är minus. Subtrahera 5\sqrt{41} från -39.

$$x=\frac{-5\sqrt{41}-39}{-2}$$

Dela -39-5\sqrt{41} med -2.

$$x=\frac{5\sqrt{41}+39}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{39-5\sqrt{41}}{2} x=\frac{5\sqrt{41}+39}{2}$$

Ersätt x med \frac{39-5\sqrt{41}}{2} i ekvationen 5\sqrt{x-3}=7-x.

$$5\sqrt{\frac{39-5\sqrt{41}}{2}-3}=7-\frac{39-5\sqrt{41}}{2}$$

Förenkla. Värdet x=\frac{39-5\sqrt{41}}{2} uppfyller ekvationen.

$$-\frac{25}{2}+\frac{5}{2}\times 41^{\frac{1}{2}}=-\frac{25}{2}+\frac{5}{2}\times 41^{\frac{1}{2}}$$

Ersätt x med \frac{5\sqrt{41}+39}{2} i ekvationen 5\sqrt{x-3}=7-x.

$$5\sqrt{\frac{5\sqrt{41}+39}{2}-3}=7-\frac{5\sqrt{41}+39}{2}$$

Förenkla. Värdet x=\frac{5\sqrt{41}+39}{2} matchar inte ekvationen eftersom vänster och höger sida har motsatta tecken.

$$\frac{25}{2}+\frac{5}{2}\times 41^{\frac{1}{2}}=-\frac{25}{2}-\frac{5}{2}\times 41^{\frac{1}{2}}$$

Ekvations 5\sqrt{x-3}=7-x har en unik lösning.

$$x=\frac{39-5\sqrt{41}}{2}$$