Lös 4x-3x^2+15=0

$$4x-3 { x }^{ 2 } +15=0$$

Lös ut x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=3$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Skriv om polynomen på standardform. Ordna termerna från högsta till lägsta grad.

$$-3x^{2}+4x+15=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som -3x^{2}+ax+bx+15. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=4 ab=-3\times 15=-45$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -45.

$$-1,45 -3,15 -5,9$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+45=44 -3+15=12 -5+9=4$$

Lösningen är det par som ger Summa 4.

$$a=9 b=-5$$

Skriv om -3x^{2}+4x+15 som \left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-5x+15\right).

$$\left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-5x+15\right)$$

Utfaktor 3x i den första och den 5 i den andra gruppen.

$$3x\left(-x+3\right)+5\left(-x+3\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen -x+3 genom att använda distributivitet.

$$\left(-x+3\right)\left(3x+5\right)$$

Lös -x+3=0 och 3x+5=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=3 x=-\frac{5}{3}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-3x^{2}+4x+15=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -3, b med 4 och c med 15 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-3\right)\times 15}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrera 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-3\right)\times 15}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicera -4 med -3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+12\times 15}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicera 12 med 15.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+180}}{2\left(-3\right)}$$

Addera 16 till 180.

$$x=\frac{-4±\sqrt{196}}{2\left(-3\right)}$$

Dra kvadratroten ur 196.

$$x=\frac{-4±14}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicera 2 med -3.

$$x=\frac{-4±14}{-6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-4±14}{-6} när ± är plus. Addera -4 till 14.

$$x=\frac{10}{-6}$$

Minska bråktalet \frac{10}{-6} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-4±14}{-6} när ± är minus. Subtrahera 14 från -4.

$$x=-\frac{18}{-6}$$

Dela -18 med -6.

$$x=3$$

Ekvationen har lösts.

$$x=-\frac{5}{3} x=3$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+4x+15=0$$

Subtrahera 15 från båda ekvationsled.

$$-3x^{2}+4x+15-15=-15$$

Subtraktion av 15 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-3x^{2}+4x=-15$$

Dividera båda led med -3.

$$\frac{-3x^{2}+4x}{-3}=-\frac{15}{-3}$$

Division med -3 tar ut multiplikationen med -3.

$$x^{2}+\frac{4}{-3}x=-\frac{15}{-3}$$

Dela 4 med -3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{15}{-3}$$

Dela -15 med -3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=5$$

Dividera -\frac{4}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{2}{3}. Addera sedan kvadraten av -\frac{2}{3} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{2}{3} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

Addera 5 till \frac{4}{9}.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

Addera \frac{2}{3} till båda ekvationsled.

$$x=3 x=-\frac{5}{3}$$