Lös 42x^2-5x-3=0

$$42 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

Lös ut x

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0,214285714$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 42x^{2}+ax+bx-3. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-5 ab=42\left(-3\right)=-126$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -126.

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

Lösningen är det par som ger Summa -5.

$$a=-14 b=9$$

Skriv om 42x^{2}-5x-3 som \left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right).

$$\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)$$

Utfaktor 14x i den första och den 3 i den andra gruppen.

$$14x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 3x-1 genom att använda distributivitet.

$$\left(3x-1\right)\left(14x+3\right)$$

Lös 3x-1=0 och 14x+3=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 42, b med -5 och c med -3 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Kvadrera -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Multiplicera -4 med 42.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-168\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Multiplicera -168 med -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+504}}{2\times 42}$$

Addera 25 till 504.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{529}}{2\times 42}$$

Dra kvadratroten ur 529.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±23}{2\times 42}$$

Motsatsen till -5 är 5.

$$x=\frac{5±23}{2\times 42}$$

Multiplicera 2 med 42.

$$x=\frac{5±23}{84}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{5±23}{84} när ± är plus. Addera 5 till 23.

$$x=\frac{28}{84}$$

Minska bråktalet \frac{28}{84} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 28.

$$x=\frac{1}{3}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{5±23}{84} när ± är minus. Subtrahera 23 från 5.

$$x=-\frac{18}{84}$$

Minska bråktalet \frac{-18}{84} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 6.

$$x=-\frac{3}{14}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Addera 3 till båda ekvationsled.

$$42x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Subtraktion av -3 från sig självt ger 0 som resultat.

$$42x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

Subtrahera -3 från 0.

$$42x^{2}-5x=3$$

Dividera båda led med 42.

$$\frac{42x^{2}-5x}{42}=\frac{3}{42}$$

Division med 42 tar ut multiplikationen med 42.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{3}{42}$$

Minska bråktalet \frac{3}{42} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 3.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{1}{14}$$

Dividera -\frac{5}{42}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{5}{84}. Addera sedan kvadraten av -\frac{5}{84} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{5}{84} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{1}{14}+\frac{25}{7056}$$

Addera \frac{1}{14} till \frac{25}{7056} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{529}{7056}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{529}{7056}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{7056}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{5}{84}=\frac{23}{84} x-\frac{5}{84}=-\frac{23}{84}$$

Addera \frac{5}{84} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$