Lös 419x^2-918x+459=0

$$419 x ^ { 2 } - 918 x + 459 = 0$$

Lös ut x

$$x = \frac{6 \sqrt{510} + 459}{419} \approx 1,418852214$$

$$x=\frac{459-6\sqrt{510}}{419}\approx 0,772078574$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$419x^{2}-918x+459=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 419, b med -918 och c med 459 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{\left(-918\right)^{2}-4\times 419\times 459}}{2\times 419}$$

Kvadrera -918.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{842724-4\times 419\times 459}}{2\times 419}$$

Multiplicera -4 med 419.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{842724-1676\times 459}}{2\times 419}$$

Multiplicera -1676 med 459.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{842724-769284}}{2\times 419}$$

Addera 842724 till -769284.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{73440}}{2\times 419}$$

Dra kvadratroten ur 73440.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±12\sqrt{510}}{2\times 419}$$

Motsatsen till -918 är 918.

$$x=\frac{918±12\sqrt{510}}{2\times 419}$$

Multiplicera 2 med 419.

$$x=\frac{918±12\sqrt{510}}{838}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{918±12\sqrt{510}}{838} när ± är plus. Addera 918 till 12\sqrt{510}.

$$x=\frac{12\sqrt{510}+918}{838}$$

Dela 918+12\sqrt{510} med 838.

$$x=\frac{6\sqrt{510}+459}{419}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{918±12\sqrt{510}}{838} när ± är minus. Subtrahera 12\sqrt{510} från 918.

$$x=\frac{918-12\sqrt{510}}{838}$$

Dela 918-12\sqrt{510} med 838.

$$x=\frac{459-6\sqrt{510}}{419}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{6\sqrt{510}+459}{419} x=\frac{459-6\sqrt{510}}{419}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$419x^{2}-918x+459=0$$

Subtrahera 459 från båda ekvationsled.

$$419x^{2}-918x+459-459=-459$$

Subtraktion av 459 från sig självt ger 0 som resultat.

$$419x^{2}-918x=-459$$

Dividera båda led med 419.

$$\frac{419x^{2}-918x}{419}=-\frac{459}{419}$$

Division med 419 tar ut multiplikationen med 419.

$$x^{2}-\frac{918}{419}x=-\frac{459}{419}$$

Dividera -\frac{918}{419}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{459}{419}. Addera sedan kvadraten av -\frac{459}{419} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{918}{419}x+\left(-\frac{459}{419}\right)^{2}=-\frac{459}{419}+\left(-\frac{459}{419}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{459}{419} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{918}{419}x+\frac{210681}{175561}=-\frac{459}{419}+\frac{210681}{175561}$$

Addera -\frac{459}{419} till \frac{210681}{175561} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{918}{419}x+\frac{210681}{175561}=\frac{18360}{175561}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{918}{419}x+\frac{210681}{175561}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{459}{419}\right)^{2}=\frac{18360}{175561}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{459}{419}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{18360}{175561}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{459}{419}=\frac{6\sqrt{510}}{419} x-\frac{459}{419}=-\frac{6\sqrt{510}}{419}$$

Addera \frac{459}{419} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{6\sqrt{510}+459}{419} x=\frac{459-6\sqrt{510}}{419}$$