Lös 40x+2x(30-2x)=200

$$40x+2x(30-2x)=200$$

Lös ut x

$$x = \frac{5 \sqrt{17} + 25}{2} \approx 22,807764064$$

$$x = \frac{25 - 5 \sqrt{17}}{2} \approx 2,192235936$$

Steg med lösningsformeln

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 2x med 30-2x.

$$40x+60x-4x^{2}=200$$

Slå ihop 40x och 60x för att få 100x.

$$100x-4x^{2}=200$$

Subtrahera 200 från båda led.

$$100x-4x^{2}-200=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-4x^{2}+100x-200=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -4, b med 100 och c med -200 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-100±\sqrt{100^{2}-4\left(-4\right)\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kvadrera 100.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-4\left(-4\right)\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicera -4 med -4.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000+16\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicera 16 med -200.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-3200}}{2\left(-4\right)}$$

Addera 10000 till -3200.

$$x=\frac{-100±\sqrt{6800}}{2\left(-4\right)}$$

Dra kvadratroten ur 6800.

$$x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicera 2 med -4.

$$x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8} när ± är plus. Addera -100 till 20\sqrt{17}.

$$x=\frac{20\sqrt{17}-100}{-8}$$

Dela -100+20\sqrt{17} med -8.

$$x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8} när ± är minus. Subtrahera 20\sqrt{17} från -100.

$$x=\frac{-20\sqrt{17}-100}{-8}$$

Dela -100-20\sqrt{17} med -8.

$$x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2} x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 2x med 30-2x.

$$40x+60x-4x^{2}=200$$

Slå ihop 40x och 60x för att få 100x.

$$100x-4x^{2}=200$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+100x=200$$

Dividera båda led med -4.

$$\frac{-4x^{2}+100x}{-4}=\frac{200}{-4}$$

Division med -4 tar ut multiplikationen med -4.

$$x^{2}+\frac{100}{-4}x=\frac{200}{-4}$$

Dela 100 med -4.

$$x^{2}-25x=\frac{200}{-4}$$

Dela 200 med -4.

$$x^{2}-25x=-50$$

Dividera -25, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{25}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{25}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-25x+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-50+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{25}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=-50+\frac{625}{4}$$

Addera -50 till \frac{625}{4}.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=\frac{425}{4}$$

Faktorisera x^{2}-25x+\frac{625}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{425}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{425}{4}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{25}{2}=\frac{5\sqrt{17}}{2} x-\frac{25}{2}=-\frac{5\sqrt{17}}{2}$$

Addera \frac{25}{2} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2} x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2}$$