Lös 40x^2-14x+1=0

$$40 { x }^{ 2 } -14x+1=0$$

Lös ut x

$$x=\frac{1}{10}=0,1$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 40x^{2}+ax+bx+1. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-14 ab=40\times 1=40$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är negativt är a och b negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 40.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

Lösningen är det par som ger Summa -14.

$$a=-10 b=-4$$

Skriv om 40x^{2}-14x+1 som \left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right).

$$\left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right)$$

Utfaktor 10x i den första och den -1 i den andra gruppen.

$$10x\left(4x-1\right)-\left(4x-1\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 4x-1 genom att använda distributivitet.

$$\left(4x-1\right)\left(10x-1\right)$$

Lös 4x-1=0 och 10x-1=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 40, b med -14 och c med 1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 40}}{2\times 40}$$

Kvadrera -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 40}}{2\times 40}$$

Multiplicera -4 med 40.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-160}}{2\times 40}$$

Addera 196 till -160.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{36}}{2\times 40}$$

Dra kvadratroten ur 36.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±6}{2\times 40}$$

Motsatsen till -14 är 14.

$$x=\frac{14±6}{2\times 40}$$

Multiplicera 2 med 40.

$$x=\frac{14±6}{80}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{14±6}{80} när ± är plus. Addera 14 till 6.

$$x=\frac{20}{80}$$

Minska bråktalet \frac{20}{80} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 20.

$$x=\frac{1}{4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{14±6}{80} när ± är minus. Subtrahera 6 från 14.

$$x=\frac{8}{80}$$

Minska bråktalet \frac{8}{80} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 8.

$$x=\frac{1}{10}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

Subtrahera 1 från båda ekvationsled.

$$40x^{2}-14x+1-1=-1$$

Subtraktion av 1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$40x^{2}-14x=-1$$

Dividera båda led med 40.

$$\frac{40x^{2}-14x}{40}=-\frac{1}{40}$$

Division med 40 tar ut multiplikationen med 40.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{40}\right)x=-\frac{1}{40}$$

Minska bråktalet \frac{-14}{40} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x=-\frac{1}{40}$$

Dividera -\frac{7}{20}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{7}{40}. Addera sedan kvadraten av -\frac{7}{40} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}=-\frac{1}{40}+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{7}{40} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=-\frac{1}{40}+\frac{49}{1600}$$

Addera -\frac{1}{40} till \frac{49}{1600} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=\frac{9}{1600}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}=\frac{9}{1600}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{1600}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{7}{40}=\frac{3}{40} x-\frac{7}{40}=-\frac{3}{40}$$

Addera \frac{7}{40} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$