Lös 4z^2+60z=800

$$4 z ^ { 2 } + 60 z = 800$$

Lös ut z

$$z = \frac{5 \sqrt{41} - 15}{2} \approx 8,507810594$$

$$z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}\approx -23,507810594$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$4z^{2}+60z=800$$

Subtrahera 800 från båda ekvationsled.

$$4z^{2}+60z-800=800-800$$

Subtraktion av 800 från sig självt ger 0 som resultat.

$$4z^{2}+60z-800=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 4, b med 60 och c med -800 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-60±\sqrt{60^{2}-4\times 4\left(-800\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrera 60.

$$z=\frac{-60±\sqrt{3600-4\times 4\left(-800\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicera -4 med 4.

$$z=\frac{-60±\sqrt{3600-16\left(-800\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicera -16 med -800.

$$z=\frac{-60±\sqrt{3600+12800}}{2\times 4}$$

Addera 3600 till 12800.

$$z=\frac{-60±\sqrt{16400}}{2\times 4}$$

Dra kvadratroten ur 16400.

$$z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{2\times 4}$$

Multiplicera 2 med 4.

$$z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{8}$$

Lös nu ekvationen z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{8} när ± är plus. Addera -60 till 20\sqrt{41}.

$$z=\frac{20\sqrt{41}-60}{8}$$

Dela -60+20\sqrt{41} med 8.

$$z=\frac{5\sqrt{41}-15}{2}$$

Lös nu ekvationen z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{8} när ± är minus. Subtrahera 20\sqrt{41} från -60.

$$z=\frac{-20\sqrt{41}-60}{8}$$

Dela -60-20\sqrt{41} med 8.

$$z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$z=\frac{5\sqrt{41}-15}{2} z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$4z^{2}+60z=800$$

Dividera båda led med 4.

$$\frac{4z^{2}+60z}{4}=\frac{800}{4}$$

Division med 4 tar ut multiplikationen med 4.

$$z^{2}+\frac{60}{4}z=\frac{800}{4}$$

Dela 60 med 4.

$$z^{2}+15z=\frac{800}{4}$$

Dela 800 med 4.

$$z^{2}+15z=200$$

Dividera 15, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{15}{2}. Addera sedan kvadraten av \frac{15}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$z^{2}+15z+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=200+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{15}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$z^{2}+15z+\frac{225}{4}=200+\frac{225}{4}$$

Addera 200 till \frac{225}{4}.

$$z^{2}+15z+\frac{225}{4}=\frac{1025}{4}$$

Faktorisera z^{2}+15z+\frac{225}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(z+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{1025}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(z+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1025}{4}}$$

Förenkla.

$$z+\frac{15}{2}=\frac{5\sqrt{41}}{2} z+\frac{15}{2}=-\frac{5\sqrt{41}}{2}$$

Subtrahera \frac{15}{2} från båda ekvationsled.

$$z=\frac{5\sqrt{41}-15}{2} z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}$$