Lös 4y^2-9y+2=0

$$4 y ^ { 2 } - 9 y + 2 = 0$$

Lös ut y

$$y=\frac{1}{4}=0,25$$

$$y=2$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Lös ekvationen genom att faktorisera den vänstra delen med gruppering. Först måste den vänstra sidan skrivas om som 4y^{2}+ay+by+2. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-9 ab=4\times 2=8$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är negativt är a och b negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 8.

$$-1,-8 -2,-4$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

Lösningen är det par som ger Summa -9.

$$a=-8 b=-1$$

Skriv om 4y^{2}-9y+2 som \left(4y^{2}-8y\right)+\left(-y+2\right).

$$\left(4y^{2}-8y\right)+\left(-y+2\right)$$

Bryt ut 4y i den första och -1 i den andra gruppen.

$$4y\left(y-2\right)-\left(y-2\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen y-2 genom att använda distributivitet.

$$\left(y-2\right)\left(4y-1\right)$$

Lös y-2=0 och 4y-1=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$4y^{2}-9y+2=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 4, b med -9 och c med 2 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Kvadrera -9.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Multiplicera -4 med 4.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-16\times 2}}{2\times 4}$$

Multiplicera -16 med 2.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-32}}{2\times 4}$$

Addera 81 till -32.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{49}}{2\times 4}$$

Dra kvadratroten ur 49.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±7}{2\times 4}$$

Motsatsen till -9 är 9.

$$y=\frac{9±7}{2\times 4}$$

Multiplicera 2 med 4.

$$y=\frac{9±7}{8}$$

Lös nu ekvationen y=\frac{9±7}{8} när ± är plus. Addera 9 till 7.

$$y=\frac{16}{8}$$

Dela 16 med 8.

$$y=2$$

Lös nu ekvationen y=\frac{9±7}{8} när ± är minus. Subtrahera 7 från 9.

$$y=\frac{2}{8}$$

Minska bråktalet \frac{2}{8} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$y=\frac{1}{4}$$

Ekvationen har lösts.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$4y^{2}-9y+2=0$$

Subtrahera 2 från båda ekvationsled.

$$4y^{2}-9y+2-2=-2$$

Subtraktion av 2 från sig självt ger 0 som resultat.

$$4y^{2}-9y=-2$$

Dividera båda led med 4.

$$\frac{4y^{2}-9y}{4}=-\frac{2}{4}$$

Division med 4 tar ut multiplikationen med 4.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y=-\frac{2}{4}$$

Minska bråktalet \frac{-2}{4} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y=-\frac{1}{2}$$

Dividera -\frac{9}{4}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{9}{8}. Addera sedan kvadraten av -\frac{9}{8} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{9}{8} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}=-\frac{1}{2}+\frac{81}{64}$$

Addera -\frac{1}{2} till \frac{81}{64} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}=\frac{49}{64}$$

Faktorisera y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}. I allmänhet gäller att om x^{2}+bx+c är en jämn kvadrat kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(y-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{64}}$$

Förenkla.

$$y-\frac{9}{8}=\frac{7}{8} y-\frac{9}{8}=-\frac{7}{8}$$

Addera \frac{9}{8} till båda ekvationsled.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$