Lös 4x-y=5text{and}5y-4x=7

$$4 x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Lös ut x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Steg med substitution

Du löser ett par ekvationer med först lösa en av ekvationerna med avseende på en av variablerna. Ersätt sedan den variabeln med resultatet i den andra ekvationen.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Välj en av ekvationerna och lös den för x genom att isolera x till vänster om likhets tecknet.

$$4x-y=5$$

Addera y till båda ekvationsled.

$$4x=y+5$$

Dividera båda led med 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+5\right)$$

Multiplicera \frac{1}{4} med y+5.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}$$

Ersätt x med \frac{5+y}{4} i den andra ekvationen, -4x+5y=7.

$$-4\left(\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}\right)+5y=7$$

Multiplicera -4 med \frac{5+y}{4}.

$$-y-5+5y=7$$

Addera -y till 5y.

$$4y-5=7$$

Addera 5 till båda ekvationsled.

$$4y=12$$

Dividera båda led med 4.

$$y=3$$

Ersätt y med 3 i x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$x=\frac{1}{4}\times 3+\frac{5}{4}$$

Multiplicera \frac{1}{4} med 3.

$$x=\frac{3+5}{4}$$

Addera \frac{5}{4} till \frac{3}{4} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x=2$$

Systemet har lösts.

$$x=2,y=3$$

Steg med matriser

Skriv om ekvationerna på standardform och använda sedan matriser för att lösa ekvationssystemet.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Skriv ekvationerna på matrisform.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Vänstermultiplicera ekvationen med inversen av en matris \left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Produkten av en matris och dess invers är enhetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna till vänster om likhetstecknet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

För 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är inversmatrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) och matrisekvationen kan därför skrivas om som en matrismultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{1}{16}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 5+\frac{1}{16}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Bryt ut matriselementen x och y.

$$x=2,y=3$$

Steg med eliminering

För lösning med hjälp av eliminering måste koefficienterna för en av variablerna vara desamma i båda ekvationer så att variabeln förkortas när den ena ekvationen subtraheras från den andra.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Gör 4x och -4x lika genom att multiplicera alla termer i båda led i den första ekvationen med -4 och alla termer i båda led i den andra ekvationen med 4.

$$-4\times 4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,4\left(-4\right)x+4\times 5y=4\times 7$$

Förenkla.

$$-16x+4y=-20,-16x+20y=28$$

Subtrahera -16x+20y=28 från -16x+4y=-20 genom att subtrahera lika termer på varje sida om likhetstecknet.

$$-16x+16x+4y-20y=-20-28$$

Addera -16x till 16x. Termerna -16x och 16x tar ut varandra och ger en ekvation med bara en variabel som kan lösas.

$$4y-20y=-20-28$$

Addera 4y till -20y.

$$-16y=-20-28$$

Addera -20 till -28.

$$-16y=-48$$

Dividera båda led med -16.

$$y=3$$

Ersätt y med 3 i -4x+5y=7. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$-4x+5\times 3=7$$

Multiplicera 5 med 3.

$$-4x+15=7$$

Subtrahera 15 från båda ekvationsled.

$$-4x=-8$$

Dividera båda led med -4.

$$x=2$$

Systemet har lösts.

$$x=2,y=3$$