Lös 4x-5y=2text{and}x+10y=41

$$4 x - 5 y = 2 \text { and } x + 10 y = 41$$

Lös ut x, y

$$x=5$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3,6$$

Steg med substitution

Du löser ett par ekvationer med först lösa en av ekvationerna med avseende på en av variablerna. Ersätt sedan den variabeln med resultatet i den andra ekvationen.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Välj en av ekvationerna och lös den för x genom att isolera x till vänster om likhets tecknet.

$$4x-5y=2$$

Addera 5y till båda ekvationsled.

$$4x=5y+2$$

Dividera båda led med 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+2\right)$$

Multiplicera \frac{1}{4} med 5y+2.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}$$

Ersätt x med \frac{5y}{4}+\frac{1}{2} i den andra ekvationen, x+10y=41.

$$\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}+10y=41$$

Addera \frac{5y}{4} till 10y.

$$\frac{45}{4}y+\frac{1}{2}=41$$

Subtrahera \frac{1}{2} från båda ekvationsled.

$$\frac{45}{4}y=\frac{81}{2}$$

Dela båda ekvationsled med \frac{45}{4}, vilket är detsamma som att multiplicera båda led med bråktalets reciprok.

$$y=\frac{18}{5}$$

Ersätt y med \frac{18}{5} i x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$x=\frac{5}{4}\times \frac{18}{5}+\frac{1}{2}$$

Multiplicera \frac{5}{4} med \frac{18}{5} genom att multiplicera täljare med täljare och nämnare med nämnare. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x=\frac{9+1}{2}$$

Addera \frac{1}{2} till \frac{9}{2} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x=5$$

Systemet har lösts.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

Steg med matriser

Skriv om ekvationerna på standardform och använda sedan matriser för att lösa ekvationssystemet.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Skriv ekvationerna på matrisform.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Vänstermultiplicera ekvationen med inversen av en matris \left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Produkten av en matris och dess invers är enhetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna till vänster om likhetstecknet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

För 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är inversmatrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) och matrisekvationen kan därför skrivas om som en matrismultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{4\times 10-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{4\times 10-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{4\times 10-\left(-5\right)}&\frac{4}{4\times 10-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\-\frac{1}{45}&\frac{4}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 2+\frac{1}{9}\times 41\\-\frac{1}{45}\times 2+\frac{4}{45}\times 41\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

Bryt ut matriselementen x och y.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

Steg med eliminering

För lösning med hjälp av eliminering måste koefficienterna för en av variablerna vara desamma i båda ekvationer så att variabeln förkortas när den ena ekvationen subtraheras från den andra.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Gör 4x och x lika genom att multiplicera alla termer i båda led i den första ekvationen med 1 och alla termer i båda led i den andra ekvationen med 4.

$$4x-5y=2,4x+4\times 10y=4\times 41$$

Förenkla.

$$4x-5y=2,4x+40y=164$$

Subtrahera 4x+40y=164 från 4x-5y=2 genom att subtrahera lika termer på varje sida om likhetstecknet.

$$4x-4x-5y-40y=2-164$$

Addera 4x till -4x. Termerna 4x och -4x tar ut varandra och ger en ekvation med bara en variabel som kan lösas.

$$-5y-40y=2-164$$

Addera -5y till -40y.

$$-45y=2-164$$

Addera 2 till -164.

$$-45y=-162$$

Dividera båda led med -45.

$$y=\frac{18}{5}$$

Ersätt y med \frac{18}{5} i x+10y=41. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$x+10\times \frac{18}{5}=41$$

Multiplicera 10 med \frac{18}{5}.

$$x+36=41$$

Subtrahera 36 från båda ekvationsled.

$$x=5$$

Systemet har lösts.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$