Lös 4x-5y=-14text{and}7x+y=-5

$$4 x - 5 y = - 14 \text { and } 7 x + y = - 5$$

Lös ut x, y

$$x=-1$$

$$y=2$$

Steg med substitution

Du löser ett par ekvationer med först lösa en av ekvationerna med avseende på en av variablerna. Ersätt sedan den variabeln med resultatet i den andra ekvationen.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Välj en av ekvationerna och lös den för x genom att isolera x till vänster om likhets tecknet.

$$4x-5y=-14$$

Addera 5y till båda ekvationsled.

$$4x=5y-14$$

Dividera båda led med 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y-14\right)$$

Multiplicera \frac{1}{4} med 5y-14.

$$x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}$$

Ersätt x med \frac{5y}{4}-\frac{7}{2} i den andra ekvationen, 7x+y=-5.

$$7\left(\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}\right)+y=-5$$

Multiplicera 7 med \frac{5y}{4}-\frac{7}{2}.

$$\frac{35}{4}y-\frac{49}{2}+y=-5$$

Addera \frac{35y}{4} till y.

$$\frac{39}{4}y-\frac{49}{2}=-5$$

Addera \frac{49}{2} till båda ekvationsled.

$$\frac{39}{4}y=\frac{39}{2}$$

Dela båda ekvationsled med \frac{39}{4}, vilket är detsamma som att multiplicera båda led med bråktalets reciprok.

$$y=2$$

Ersätt y med 2 i x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$x=\frac{5}{4}\times 2-\frac{7}{2}$$

Multiplicera \frac{5}{4} med 2.

$$x=\frac{5-7}{2}$$

Addera -\frac{7}{2} till \frac{5}{2} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x=-1$$

Systemet har lösts.

$$x=-1,y=2$$

Steg med matriser

Skriv om ekvationerna på standardform och använda sedan matriser för att lösa ekvationssystemet.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Skriv ekvationerna på matrisform.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Vänstermultiplicera ekvationen med inversen av en matris \left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Produkten av en matris och dess invers är enhetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna till vänster om likhetstecknet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

För 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är inversmatrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) och matrisekvationen kan därför skrivas om som en matrismultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 7\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 7\right)}\\-\frac{7}{4-\left(-5\times 7\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{7}{39}&\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}\left(-14\right)+\frac{5}{39}\left(-5\right)\\-\frac{7}{39}\left(-14\right)+\frac{4}{39}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

Bryt ut matriselementen x och y.

$$x=-1,y=2$$

Steg med eliminering

För lösning med hjälp av eliminering måste koefficienterna för en av variablerna vara desamma i båda ekvationer så att variabeln förkortas när den ena ekvationen subtraheras från den andra.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Gör 4x och 7x lika genom att multiplicera alla termer i båda led i den första ekvationen med 7 och alla termer i båda led i den andra ekvationen med 4.

$$7\times 4x+7\left(-5\right)y=7\left(-14\right),4\times 7x+4y=4\left(-5\right)$$

Förenkla.

$$28x-35y=-98,28x+4y=-20$$

Subtrahera 28x+4y=-20 från 28x-35y=-98 genom att subtrahera lika termer på varje sida om likhetstecknet.

$$28x-28x-35y-4y=-98+20$$

Addera 28x till -28x. Termerna 28x och -28x tar ut varandra och ger en ekvation med bara en variabel som kan lösas.

$$-35y-4y=-98+20$$

Addera -35y till -4y.

$$-39y=-98+20$$

Addera -98 till 20.

$$-39y=-78$$

Dividera båda led med -39.

$$y=2$$

Ersätt y med 2 i 7x+y=-5. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$7x+2=-5$$

Subtrahera 2 från båda ekvationsled.

$$7x=-7$$

Dividera båda led med 7.

$$x=-1$$

Systemet har lösts.

$$x=-1,y=2$$