Lös 4x-3y=2text{and}x+5y=-11

$$4 x - 3 y = 2 \text { and } x + 5 y = - 11$$

Lös ut x, y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Steg med substitution

Du löser ett par ekvationer med först lösa en av ekvationerna med avseende på en av variablerna. Ersätt sedan den variabeln med resultatet i den andra ekvationen.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Välj en av ekvationerna och lös den för x genom att isolera x till vänster om likhets tecknet.

$$4x-3y=2$$

Addera 3y till båda ekvationsled.

$$4x=3y+2$$

Dividera båda led med 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+2\right)$$

Multiplicera \frac{1}{4} med 3y+2.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}$$

Ersätt x med \frac{3y}{4}+\frac{1}{2} i den andra ekvationen, x+5y=-11.

$$\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}+5y=-11$$

Addera \frac{3y}{4} till 5y.

$$\frac{23}{4}y+\frac{1}{2}=-11$$

Subtrahera \frac{1}{2} från båda ekvationsled.

$$\frac{23}{4}y=-\frac{23}{2}$$

Dela båda ekvationsled med \frac{23}{4}, vilket är detsamma som att multiplicera båda led med bråktalets reciprok.

$$y=-2$$

Ersätt y med -2 i x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$x=\frac{3}{4}\left(-2\right)+\frac{1}{2}$$

Multiplicera \frac{3}{4} med -2.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

Addera \frac{1}{2} till -\frac{3}{2} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x=-1$$

Systemet har lösts.

$$x=-1,y=-2$$

Steg med matriser

Skriv om ekvationerna på standardform och använda sedan matriser för att lösa ekvationssystemet.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Skriv ekvationerna på matrisform.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Vänstermultiplicera ekvationen med inversen av en matris \left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Produkten av en matris och dess invers är enhetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna till vänster om likhetstecknet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

För 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är inversmatrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) och matrisekvationen kan därför skrivas om som en matrismultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{4\times 5-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{4\times 5-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&\frac{3}{23}\\-\frac{1}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\times 2+\frac{3}{23}\left(-11\right)\\-\frac{1}{23}\times 2+\frac{4}{23}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Bryt ut matriselementen x och y.

$$x=-1,y=-2$$

Steg med eliminering

För lösning med hjälp av eliminering måste koefficienterna för en av variablerna vara desamma i båda ekvationer så att variabeln förkortas när den ena ekvationen subtraheras från den andra.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Gör 4x och x lika genom att multiplicera alla termer i båda led i den första ekvationen med 1 och alla termer i båda led i den andra ekvationen med 4.

$$4x-3y=2,4x+4\times 5y=4\left(-11\right)$$

Förenkla.

$$4x-3y=2,4x+20y=-44$$

Subtrahera 4x+20y=-44 från 4x-3y=2 genom att subtrahera lika termer på varje sida om likhetstecknet.

$$4x-4x-3y-20y=2+44$$

Addera 4x till -4x. Termerna 4x och -4x tar ut varandra och ger en ekvation med bara en variabel som kan lösas.

$$-3y-20y=2+44$$

Addera -3y till -20y.

$$-23y=2+44$$

Addera 2 till 44.

$$-23y=46$$

Dividera båda led med -23.

$$y=-2$$

Ersätt y med -2 i x+5y=-11. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$x+5\left(-2\right)=-11$$

Multiplicera 5 med -2.

$$x-10=-11$$

Addera 10 till båda ekvationsled.

$$x=-1$$

Systemet har lösts.

$$x=-1,y=-2$$