Lös 4x-2y=28text{and}x=y+5

$$4 x - 2 y = 28 \text { and } x = y + 5$$

Lös ut x, y

$$x=9$$

$$y=4$$

Steg med substitution

Överväg den andra ekvationen. Subtrahera y från båda led.

$$x-y=5$$

Du löser ett par ekvationer med först lösa en av ekvationerna med avseende på en av variablerna. Ersätt sedan den variabeln med resultatet i den andra ekvationen.

$$4x-2y=28,x-y=5$$

Välj en av ekvationerna och lös den för x genom att isolera x till vänster om likhets tecknet.

$$4x-2y=28$$

Addera 2y till båda ekvationsled.

$$4x=2y+28$$

Dividera båda led med 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+28\right)$$

Multiplicera \frac{1}{4} med 28+2y.

$$x=\frac{1}{2}y+7$$

Ersätt x med \frac{y}{2}+7 i den andra ekvationen, x-y=5.

$$\frac{1}{2}y+7-y=5$$

Addera \frac{y}{2} till -y.

$$-\frac{1}{2}y+7=5$$

Subtrahera 7 från båda ekvationsled.

$$-\frac{1}{2}y=-2$$

Multiplicera båda led med -2.

$$y=4$$

Ersätt y med 4 i x=\frac{1}{2}y+7. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$x=\frac{1}{2}\times 4+7$$

Multiplicera \frac{1}{2} med 4.

$$x=2+7$$

Addera 7 till 2.

$$x=9$$

Systemet har lösts.

$$x=9,y=4$$

Steg med matriser

Överväg den andra ekvationen. Subtrahera y från båda led.

$$x-y=5$$

Skriv om ekvationerna på standardform och använda sedan matriser för att lösa ekvationssystemet.

$$4x-2y=28,x-y=5$$

Skriv ekvationerna på matrisform.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\5\end{matrix}\right)$$

Vänstermultiplicera ekvationen med inversen av en matris \left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\5\end{matrix}\right)$$

Produkten av en matris och dess invers är enhetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna till vänster om likhetstecknet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\5\end{matrix}\right)$$

För 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är inversmatrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) och matrisekvationen kan därför skrivas om som en matrismultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{4\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{4\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{4}{4\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\5\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-1\\\frac{1}{2}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 28-5\\\frac{1}{2}\times 28-2\times 5\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\4\end{matrix}\right)$$

Bryt ut matriselementen x och y.

$$x=9,y=4$$

Steg med eliminering

Överväg den andra ekvationen. Subtrahera y från båda led.

$$x-y=5$$

För lösning med hjälp av eliminering måste koefficienterna för en av variablerna vara desamma i båda ekvationer så att variabeln förkortas när den ena ekvationen subtraheras från den andra.

$$4x-2y=28,x-y=5$$

Gör 4x och x lika genom att multiplicera alla termer i båda led i den första ekvationen med 1 och alla termer i båda led i den andra ekvationen med 4.

$$4x-2y=28,4x+4\left(-1\right)y=4\times 5$$

Förenkla.

$$4x-2y=28,4x-4y=20$$

Subtrahera 4x-4y=20 från 4x-2y=28 genom att subtrahera lika termer på varje sida om likhetstecknet.

$$4x-4x-2y+4y=28-20$$

Addera 4x till -4x. Termerna 4x och -4x tar ut varandra och ger en ekvation med bara en variabel som kan lösas.

$$-2y+4y=28-20$$

Addera -2y till 4y.

$$2y=28-20$$

Addera 28 till -20.

$$2y=8$$

Dividera båda led med 2.

$$y=4$$

Ersätt y med 4 i x-y=5. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$x-4=5$$

Addera 4 till båda ekvationsled.

$$x=9$$

Systemet har lösts.

$$x=9,y=4$$