Lös 4x^2-x-5=0

$$4 x ^ { 2 } - x - 5 = 0$$

Lös ut x

$$x=-1$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 4x^{2}+ax+bx-5. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-1 ab=4\left(-5\right)=-20$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Lösningen är det par som ger Summa -1.

$$a=-5 b=4$$

Skriv om 4x^{2}-x-5 som \left(4x^{2}-5x\right)+\left(4x-5\right).

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(4x-5\right)$$

Bryt ut x i 4x^{2}-5x.

$$x\left(4x-5\right)+4x-5$$

Bryt ut den gemensamma termen 4x-5 genom att använda distributivitet.

$$\left(4x-5\right)\left(x+1\right)$$

Lös 4x-5=0 och x+1=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$4x^{2}-x-5=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 4, b med -1 och c med -5 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicera -4 med 4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-16\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicera -16 med -5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 4}$$

Addera 1 till 80.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 4}$$

Dra kvadratroten ur 81.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 4}$$

Motsatsen till -1 är 1.

$$x=\frac{1±9}{2\times 4}$$

Multiplicera 2 med 4.

$$x=\frac{1±9}{8}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{1±9}{8} när ± är plus. Addera 1 till 9.

$$x=\frac{10}{8}$$

Minska bråktalet \frac{10}{8} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=\frac{5}{4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{1±9}{8} när ± är minus. Subtrahera 9 från 1.

$$x=-\frac{8}{8}$$

Dela -8 med 8.

$$x=-1$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-x-5=0$$

Addera 5 till båda ekvationsled.

$$4x^{2}-x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Subtraktion av -5 från sig självt ger 0 som resultat.

$$4x^{2}-x=-\left(-5\right)$$

Subtrahera -5 från 0.

$$4x^{2}-x=5$$

Dividera båda led med 4.

$$\frac{4x^{2}-x}{4}=\frac{5}{4}$$

Division med 4 tar ut multiplikationen med 4.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x=\frac{5}{4}$$

Dividera -\frac{1}{4}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{8}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{8} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{8} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{5}{4}+\frac{1}{64}$$

Addera \frac{5}{4} till \frac{1}{64} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{81}{64}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{1}{8}=\frac{9}{8} x-\frac{1}{8}=-\frac{9}{8}$$

Addera \frac{1}{8} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$