Lös 4x^2-9x-9=0

$$4 x ^ { 2 } - 9 x - 9 = 0$$

Lös ut x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=3$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 4x^{2}+ax+bx-9. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-9 ab=4\left(-9\right)=-36$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -36.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

Lösningen är det par som ger Summa -9.

$$a=-12 b=3$$

Skriv om 4x^{2}-9x-9 som \left(4x^{2}-12x\right)+\left(3x-9\right).

$$\left(4x^{2}-12x\right)+\left(3x-9\right)$$

Utfaktor 4x i den första och den 3 i den andra gruppen.

$$4x\left(x-3\right)+3\left(x-3\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x-3 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-3\right)\left(4x+3\right)$$

Lös x-3=0 och 4x+3=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$4x^{2}-9x-9=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 4, b med -9 och c med -9 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrera -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicera -4 med 4.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-16\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicera -16 med -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+144}}{2\times 4}$$

Addera 81 till 144.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Dra kvadratroten ur 225.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±15}{2\times 4}$$

Motsatsen till -9 är 9.

$$x=\frac{9±15}{2\times 4}$$

Multiplicera 2 med 4.

$$x=\frac{9±15}{8}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{9±15}{8} när ± är plus. Addera 9 till 15.

$$x=\frac{24}{8}$$

Dela 24 med 8.

$$x=3$$

Lös nu ekvationen x=\frac{9±15}{8} när ± är minus. Subtrahera 15 från 9.

$$x=-\frac{6}{8}$$

Minska bråktalet \frac{-6}{8} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-9x-9=0$$

Addera 9 till båda ekvationsled.

$$4x^{2}-9x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Subtraktion av -9 från sig självt ger 0 som resultat.

$$4x^{2}-9x=-\left(-9\right)$$

Subtrahera -9 från 0.

$$4x^{2}-9x=9$$

Dividera båda led med 4.

$$\frac{4x^{2}-9x}{4}=\frac{9}{4}$$

Division med 4 tar ut multiplikationen med 4.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x=\frac{9}{4}$$

Dividera -\frac{9}{4}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{9}{8}. Addera sedan kvadraten av -\frac{9}{8} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{9}{4}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{9}{8} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=\frac{9}{4}+\frac{81}{64}$$

Addera \frac{9}{4} till \frac{81}{64} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=\frac{225}{64}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{9}{8}=\frac{15}{8} x-\frac{9}{8}=-\frac{15}{8}$$

Addera \frac{9}{8} till båda ekvationsled.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$