Lös 4x^2-84x+41=0

$$4 x ^ { 2 } - 84 x + 41 = 0$$

Lös ut x

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x = \frac{41}{2} = 20\frac{1}{2} = 20,5$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 4x^{2}+ax+bx+41. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-84 ab=4\times 41=164$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är negativt är a och b negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 164.

$$-1,-164 -2,-82 -4,-41$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1-164=-165 -2-82=-84 -4-41=-45$$

Lösningen är det par som ger Summa -84.

$$a=-82 b=-2$$

Skriv om 4x^{2}-84x+41 som \left(4x^{2}-82x\right)+\left(-2x+41\right).

$$\left(4x^{2}-82x\right)+\left(-2x+41\right)$$

Utfaktor 2x i den första och den -1 i den andra gruppen.

$$2x\left(2x-41\right)-\left(2x-41\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 2x-41 genom att använda distributivitet.

$$\left(2x-41\right)\left(2x-1\right)$$

Lös 2x-41=0 och 2x-1=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=\frac{41}{2} x=\frac{1}{2}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$4x^{2}-84x+41=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 4, b med -84 och c med 41 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-84\right)±\sqrt{\left(-84\right)^{2}-4\times 4\times 41}}{2\times 4}$$

Kvadrera -84.

$$x=\frac{-\left(-84\right)±\sqrt{7056-4\times 4\times 41}}{2\times 4}$$

Multiplicera -4 med 4.

$$x=\frac{-\left(-84\right)±\sqrt{7056-16\times 41}}{2\times 4}$$

Multiplicera -16 med 41.

$$x=\frac{-\left(-84\right)±\sqrt{7056-656}}{2\times 4}$$

Addera 7056 till -656.

$$x=\frac{-\left(-84\right)±\sqrt{6400}}{2\times 4}$$

Dra kvadratroten ur 6400.

$$x=\frac{-\left(-84\right)±80}{2\times 4}$$

Motsatsen till -84 är 84.

$$x=\frac{84±80}{2\times 4}$$

Multiplicera 2 med 4.

$$x=\frac{84±80}{8}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{84±80}{8} när ± är plus. Addera 84 till 80.

$$x=\frac{164}{8}$$

Minska bråktalet \frac{164}{8} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 4.

$$x=\frac{41}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{84±80}{8} när ± är minus. Subtrahera 80 från 84.

$$x=\frac{4}{8}$$

Minska bråktalet \frac{4}{8} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 4.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{41}{2} x=\frac{1}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-84x+41=0$$

Subtrahera 41 från båda ekvationsled.

$$4x^{2}-84x+41-41=-41$$

Subtraktion av 41 från sig självt ger 0 som resultat.

$$4x^{2}-84x=-41$$

Dividera båda led med 4.

$$\frac{4x^{2}-84x}{4}=-\frac{41}{4}$$

Division med 4 tar ut multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{84}{4}\right)x=-\frac{41}{4}$$

Dela -84 med 4.

$$x^{2}-21x=-\frac{41}{4}$$

Dividera -21, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{21}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{21}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-21x+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=-\frac{41}{4}+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{21}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=\frac{-41+441}{4}$$

Addera -\frac{41}{4} till \frac{441}{4} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=100$$

Faktorisera x^{2}-21x+\frac{441}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}=100$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{100}$$

Förenkla.

$$x-\frac{21}{2}=10 x-\frac{21}{2}=-10$$

Addera \frac{21}{2} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{41}{2} x=\frac{1}{2}$$