Lös 4x^2-8x+16=0

$$4 x ^ { 2 } - 8 x + 16 = 0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=1+\sqrt{3}i\approx 1+1,732050808i$$

$$x=-\sqrt{3}i+1\approx 1-1,732050808i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$4x^{2}-8x+16=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 4, b med -8 och c med 16 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 4\times 16}}{2\times 4}$$

Kvadrera -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 4\times 16}}{2\times 4}$$

Multiplicera -4 med 4.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-16\times 16}}{2\times 4}$$

Multiplicera -16 med 16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-256}}{2\times 4}$$

Addera 64 till -256.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{-192}}{2\times 4}$$

Dra kvadratroten ur -192.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±8\sqrt{3}i}{2\times 4}$$

Motsatsen till -8 är 8.

$$x=\frac{8±8\sqrt{3}i}{2\times 4}$$

Multiplicera 2 med 4.

$$x=\frac{8±8\sqrt{3}i}{8}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{8±8\sqrt{3}i}{8} när ± är plus. Addera 8 till 8i\sqrt{3}.

$$x=\frac{8+8\sqrt{3}i}{8}$$

Dela 8+8i\sqrt{3} med 8.

$$x=1+\sqrt{3}i$$

Lös nu ekvationen x=\frac{8±8\sqrt{3}i}{8} när ± är minus. Subtrahera 8i\sqrt{3} från 8.

$$x=\frac{-8\sqrt{3}i+8}{8}$$

Dela 8-8i\sqrt{3} med 8.

$$x=-\sqrt{3}i+1$$

Ekvationen har lösts.

$$x=1+\sqrt{3}i x=-\sqrt{3}i+1$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-8x+16=0$$

Subtrahera 16 från båda ekvationsled.

$$4x^{2}-8x+16-16=-16$$

Subtraktion av 16 från sig självt ger 0 som resultat.

$$4x^{2}-8x=-16$$

Dividera båda led med 4.

$$\frac{4x^{2}-8x}{4}=-\frac{16}{4}$$

Division med 4 tar ut multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{4}\right)x=-\frac{16}{4}$$

Dela -8 med 4.

$$x^{2}-2x=-\frac{16}{4}$$

Dela -16 med 4.

$$x^{2}-2x=-4$$

Dividera -2, koefficienten för termen x, med 2 för att få -1. Addera sedan kvadraten av -1 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-2x+1=-4+1$$

Addera -4 till 1.

$$x^{2}-2x+1=-3$$

Faktorisera x^{2}-2x+1. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-1\right)^{2}=-3$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{-3}$$

Förenkla.

$$x-1=\sqrt{3}i x-1=-\sqrt{3}i$$

Addera 1 till båda ekvationsled.

$$x=1+\sqrt{3}i x=-\sqrt{3}i+1$$