Lös 4x^2-7x+3=0

$$4 x ^ { 2 } - 7 x + 3 = 0$$

Lös ut x

$$x=1$$

$$x=\frac{3}{4}=0,75$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 4x^{2}+ax+bx+3. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-7 ab=4\times 3=12$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är negativt är a och b negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Lösningen är det par som ger Summa -7.

$$a=-4 b=-3$$

Skriv om 4x^{2}-7x+3 som \left(4x^{2}-4x\right)+\left(-3x+3\right).

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-3x+3\right)$$

Utfaktor 4x i den första och den -3 i den andra gruppen.

$$4x\left(x-1\right)-3\left(x-1\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x-1 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-1\right)\left(4x-3\right)$$

Lös x-1=0 och 4x-3=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$4x^{2}-7x+3=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 4, b med -7 och c med 3 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Kvadrera -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Multiplicera -4 med 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\times 3}}{2\times 4}$$

Multiplicera -16 med 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48}}{2\times 4}$$

Addera 49 till -48.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{1}}{2\times 4}$$

Dra kvadratroten ur 1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±1}{2\times 4}$$

Motsatsen till -7 är 7.

$$x=\frac{7±1}{2\times 4}$$

Multiplicera 2 med 4.

$$x=\frac{7±1}{8}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{7±1}{8} när ± är plus. Addera 7 till 1.

$$x=\frac{8}{8}$$

Dela 8 med 8.

$$x=1$$

Lös nu ekvationen x=\frac{7±1}{8} när ± är minus. Subtrahera 1 från 7.

$$x=\frac{6}{8}$$

Minska bråktalet \frac{6}{8} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=\frac{3}{4}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-7x+3=0$$

Subtrahera 3 från båda ekvationsled.

$$4x^{2}-7x+3-3=-3$$

Subtraktion av 3 från sig självt ger 0 som resultat.

$$4x^{2}-7x=-3$$

Dividera båda led med 4.

$$\frac{4x^{2}-7x}{4}=-\frac{3}{4}$$

Division med 4 tar ut multiplikationen med 4.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=-\frac{3}{4}$$

Dividera -\frac{7}{4}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{7}{8}. Addera sedan kvadraten av -\frac{7}{8} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{3}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{7}{8} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=-\frac{3}{4}+\frac{49}{64}$$

Addera -\frac{3}{4} till \frac{49}{64} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{64}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{64}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{64}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{7}{8}=\frac{1}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{1}{8}$$

Addera \frac{7}{8} till båda ekvationsled.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$