Lös 4x^2-4x+1=0

$$4 x ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0$$

Lös ut x

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 4x^{2}+ax+bx+1. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-4 ab=4\times 1=4$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är negativt är a och b negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Lösningen är det par som ger Summa -4.

$$a=-2 b=-2$$

Skriv om 4x^{2}-4x+1 som \left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right).

$$\left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right)$$

Utfaktor 2x i den första och den -1 i den andra gruppen.

$$2x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 2x-1 genom att använda distributivitet.

$$\left(2x-1\right)\left(2x-1\right)$$

Skriv om som en binomkvadrat.

$$\left(2x-1\right)^{2}$$

Lös 2x-1=0 för att hitta ekvationslösning.

$$x=\frac{1}{2}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 4, b med -4 och c med 1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Kvadrera -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

Multiplicera -4 med 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

Addera 16 till -16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Dra kvadratroten ur 0.

$$x=-\frac{-4}{2\times 4}$$

Motsatsen till -4 är 4.

$$x=\frac{4}{2\times 4}$$

Multiplicera 2 med 4.

$$x=\frac{4}{8}$$

Minska bråktalet \frac{4}{8} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 4.

$$x=\frac{1}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

Subtrahera 1 från båda ekvationsled.

$$4x^{2}-4x+1-1=-1$$

Subtraktion av 1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$4x^{2}-4x=-1$$

Dividera båda led med 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Division med 4 tar ut multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=-\frac{1}{4}$$

Dela -4 med 4.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{4}$$

Dividera -1, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}$$

Addera -\frac{1}{4} till \frac{1}{4} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=0$$

Faktorisera x^{2}-x+\frac{1}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=0$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Förenkla.

$$x-\frac{1}{2}=0 x-\frac{1}{2}=0$$

Addera \frac{1}{2} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{2}$$

Ekvationen har lösts. Lösningarna är samma.

$$x=\frac{1}{2}$$