Lös 4x^2-2x+9=0

$$4 x ^ { 2 } - 2 x + 9 = 0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4}\approx 0,25+1,479019946i$$

$$x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}\approx 0,25-1,479019946i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$4x^{2}-2x+9=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 4, b med -2 och c med 9 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Kvadrera -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Multiplicera -4 med 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16\times 9}}{2\times 4}$$

Multiplicera -16 med 9.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-144}}{2\times 4}$$

Addera 4 till -144.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-140}}{2\times 4}$$

Dra kvadratroten ur -140.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{35}i}{2\times 4}$$

Motsatsen till -2 är 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{2\times 4}$$

Multiplicera 2 med 4.

$$x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{8}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{8} när ± är plus. Addera 2 till 2i\sqrt{35}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{35}i}{8}$$

Dela 2+2i\sqrt{35} med 8.

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{8} när ± är minus. Subtrahera 2i\sqrt{35} från 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{35}i+2}{8}$$

Dela 2-2i\sqrt{35} med 8.

$$x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4} x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-2x+9=0$$

Subtrahera 9 från båda ekvationsled.

$$4x^{2}-2x+9-9=-9$$

Subtraktion av 9 från sig självt ger 0 som resultat.

$$4x^{2}-2x=-9$$

Dividera båda led med 4.

$$\frac{4x^{2}-2x}{4}=-\frac{9}{4}$$

Division med 4 tar ut multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{4}\right)x=-\frac{9}{4}$$

Minska bråktalet \frac{-2}{4} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{9}{4}$$

Dividera -\frac{1}{2}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{4}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{4} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{4} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{9}{4}+\frac{1}{16}$$

Addera -\frac{9}{4} till \frac{1}{16} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{35}{16}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{35}{16}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{35}{16}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{35}i}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{35}i}{4}$$

Addera \frac{1}{4} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4} x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}$$