Lös 4x^2-14x=9

$$4 x ^ { 2 } - 14 x = 9$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{85} + 7}{4} \approx 4,054886114$$

$$x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}\approx -0,554886114$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$4x^{2}-14x=9$$

Subtrahera 9 från båda ekvationsled.

$$4x^{2}-14x-9=9-9$$

Subtraktion av 9 från sig självt ger 0 som resultat.

$$4x^{2}-14x-9=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 4, b med -14 och c med -9 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrera -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicera -4 med 4.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-16\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicera -16 med -9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+144}}{2\times 4}$$

Addera 196 till 144.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{340}}{2\times 4}$$

Dra kvadratroten ur 340.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{85}}{2\times 4}$$

Motsatsen till -14 är 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{85}}{2\times 4}$$

Multiplicera 2 med 4.

$$x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8} när ± är plus. Addera 14 till 2\sqrt{85}.

$$x=\frac{2\sqrt{85}+14}{8}$$

Dela 14+2\sqrt{85} med 8.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8} när ± är minus. Subtrahera 2\sqrt{85} från 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{85}}{8}$$

Dela 14-2\sqrt{85} med 8.

$$x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-14x=9$$

Dividera båda led med 4.

$$\frac{4x^{2}-14x}{4}=\frac{9}{4}$$

Division med 4 tar ut multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{4}\right)x=\frac{9}{4}$$

Minska bråktalet \frac{-14}{4} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=\frac{9}{4}$$

Dividera -\frac{7}{2}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{7}{4}. Addera sedan kvadraten av -\frac{7}{4} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{4}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{7}{4} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{4}+\frac{49}{16}$$

Addera \frac{9}{4} till \frac{49}{16} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{85}{16}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{85}{16}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{85}{16}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{85}}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{85}}{4}$$

Addera \frac{7}{4} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$