Lös 4x^2-12x-27=0

$$4 x ^ { 2 } - 12 x - 27 = 0$$

Lös ut x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4,5$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 4x^{2}+ax+bx-27. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-12 ab=4\left(-27\right)=-108$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -108.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

Lösningen är det par som ger Summa -12.

$$a=-18 b=6$$

Skriv om 4x^{2}-12x-27 som \left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right).

$$\left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right)$$

Utfaktor 2x i den första och den 3 i den andra gruppen.

$$2x\left(2x-9\right)+3\left(2x-9\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 2x-9 genom att använda distributivitet.

$$\left(2x-9\right)\left(2x+3\right)$$

Lös 2x-9=0 och 2x+3=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 4, b med -12 och c med -27 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrera -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicera -4 med 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicera -16 med -27.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+432}}{2\times 4}$$

Addera 144 till 432.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

Dra kvadratroten ur 576.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±24}{2\times 4}$$

Motsatsen till -12 är 12.

$$x=\frac{12±24}{2\times 4}$$

Multiplicera 2 med 4.

$$x=\frac{12±24}{8}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{12±24}{8} när ± är plus. Addera 12 till 24.

$$x=\frac{36}{8}$$

Minska bråktalet \frac{36}{8} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 4.

$$x=\frac{9}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{12±24}{8} när ± är minus. Subtrahera 24 från 12.

$$x=-\frac{12}{8}$$

Minska bråktalet \frac{-12}{8} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Addera 27 till båda ekvationsled.

$$4x^{2}-12x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

Subtraktion av -27 från sig självt ger 0 som resultat.

$$4x^{2}-12x=-\left(-27\right)$$

Subtrahera -27 från 0.

$$4x^{2}-12x=27$$

Dividera båda led med 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{27}{4}$$

Division med 4 tar ut multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{27}{4}$$

Dela -12 med 4.

$$x^{2}-3x=\frac{27}{4}$$

Dividera -3, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{3}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{3}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{3}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{27+9}{4}$$

Addera \frac{27}{4} till \frac{9}{4} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=9$$

Faktorisera x^{2}-3x+\frac{9}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=9$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Förenkla.

$$x-\frac{3}{2}=3 x-\frac{3}{2}=-3$$

Addera \frac{3}{2} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$