Lös 4x^2-11x+30=16

$$4 x ^ { 2 } - 11 x + 30 = 16$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}\approx 1,375+1,268611446i$$

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}\approx 1,375-1,268611446i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

Subtrahera 16 från båda ekvationsled.

$$4x^{2}-11x+30-16=16-16$$

Subtraktion av 16 från sig självt ger 0 som resultat.

$$4x^{2}-11x+30-16=0$$

Subtrahera 16 från 30.

$$4x^{2}-11x+14=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 4, b med -11 och c med 14 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

Kvadrera -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

Multiplicera -4 med 4.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-16\times 14}}{2\times 4}$$

Multiplicera -16 med 14.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-224}}{2\times 4}$$

Addera 121 till -224.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-103}}{2\times 4}$$

Dra kvadratroten ur -103.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

Motsatsen till -11 är 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

Multiplicera 2 med 4.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8} när ± är plus. Addera 11 till i\sqrt{103}.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8} när ± är minus. Subtrahera i\sqrt{103} från 11.

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

Subtrahera 30 från båda ekvationsled.

$$4x^{2}-11x+30-30=16-30$$

Subtraktion av 30 från sig självt ger 0 som resultat.

$$4x^{2}-11x=16-30$$

Subtrahera 30 från 16.

$$4x^{2}-11x=-14$$

Dividera båda led med 4.

$$\frac{4x^{2}-11x}{4}=-\frac{14}{4}$$

Division med 4 tar ut multiplikationen med 4.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{14}{4}$$

Minska bråktalet \frac{-14}{4} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{7}{2}$$

Dividera -\frac{11}{4}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{11}{8}. Addera sedan kvadraten av -\frac{11}{8} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{11}{8} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{7}{2}+\frac{121}{64}$$

Addera -\frac{7}{2} till \frac{121}{64} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{103}{64}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. I allmänhet gäller att om x^{2}+bx+c är en jämn kvadrat kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{103}{64}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{103}{64}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{11}{8}=\frac{\sqrt{103}i}{8} x-\frac{11}{8}=-\frac{\sqrt{103}i}{8}$$

Addera \frac{11}{8} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$